лего пример и подробно разбери: x² + 10x + 25

Задача: разбор квадратичного выражения x^2 + 10x + 25.

Класс/предмет: Алгебра, 8-й класс. Цель: понять.

Пошаговый разбор

1. Узнаем структуру выражения

• В нем x^2 стоит как a^2, коэффициент при x равен 10, свободный член равен 25.
• Заметим: 10 = 2·5 и 25 = 5^2.
• Это похоже на формулу для квадрата двучлена: a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2, где a = x и b = 5.

2. Приведем к квадрату бинома

• x^2 + 10x + 25 = x^2 + 2·x·5 + 5^2
• По формуле это равно (x + 5)^2.

3. Проверка

• Распишем обратно: (x + 5)^2 = x^2 + 2·5·x + 5^2 = x^2 + 10x + 25. Совпадает.

4. Корни уравнения (если нужно решить x^2 + 10x + 25 = 0)

• Пусть x^2 + 10x + 25 = 0. Тогда (x + 5)^2 = 0.
• Корень двойной: x = -5 (один корень с кратностью 2).

5. Дополнительные заметки

• Это пример идеального квадратичного трёхчлена, который является квадратом бинома. Часто такие выражения легко распознаются по признаку c = (b/2)^2 для a=1.
• Вершина параболы f(x) = x^2 + 10x + 25 находится в x = -b/(2a) = -10/2 = -5, и значение f(-5) = 0, что согласуется с корнем.

Короткий аналог для закрепления

• x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2
• x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2 (Во всех случаях c = (b/2)^2.)

Итог

• x^2 + 10x + 25 = (x + 5)^2, корень x = -5 (двойной корень).