Футбольный мяч сшит из 12 пятиугольников и чёрных шестиугольников. сколько на нём шестиугольников

Ответ: 20 шестиугольников.

Пошаговое решение (пояснение для понятия):

• Пусть на мече мячей п = 12 пятиугольников, h = неизвестное число шестиугольников. Тогда всего граней F = p + h = 12 + h.
• Каждая грань имеет 5 или 6 сторон, и каждую грань стороны разделяет с другой гранью. Следовательно, число ребер E равно E = (5p + 6h) / 2.
• Так как на каждой вершине сходится по три грани, то суммарное число вершин V связано с гранями так: 5p + 6h = 3V, значит V = (5p + 6h) / 3.
• Применяем формулу Эйлера для шара: V - E + F = 2. Подставляем V, E, F: (5p + 6h)/3 - (5p + 6h)/2 + (p + h) = 2. Это даёт соотношение, которое при p = 12 выполняется независимо от h. В частности, p = 12 (что и дано) — условие выполнено.
• Чтобы узнать число шестиугольников, нужно знать общее число граней мячика. В стандартном футбольном мяче общее число граней равно 32: 12 пятиугольников и 20 шестиугольников. Поэтому h = 32 - p = 32 - 12 = 20.

Проверка (помощь для понимания):

• E = (5·12 + 6·20) / 2 = (60 + 120)/2 = 90
• V = (5·12 + 6·20) / 3 = (60 + 120)/3 = 60
• F = 12 + 20 = 32
• Эйлер: V - E + F = 60 - 90 + 32 = 2, что верно для шара.

Итого: на футбольном мяче 20 черных шестиугольников.