7 Две прямые пересекаются в точке М. Докажите, что все прямые, не проходящие через точку М и пересекающие данные прямые, лежат в одной плоскости. Лежат ли в одной плоскости все…

Дано две прямые l1 и l2, которые пересекаются в точке M.

1. Плоскость, содержащая l1 и l2

• Любые две пересекающиеся прямые лежат в одной плоскости. Назовём эту плоскость Π.

2. Пусть прямая g не проходит через M и пересекает данные прямые

• Пусть g пересекает l1 в точке A и l2 в точке B.
• Так как A ∈ l1 и l1 ⊂ Π, то A ∈ Π.
• Также B ∈ l2 и l2 ⊂ Π, значит B ∈ Π.
• Прямая g задана двумя точками A и B, которые обе принадлежат плоскости Π. Следовательно, вся прямая g лежит в Π.

Вывод: все прямые, не проходящие через точку M и пересекающие обе данные прямые, лежат в одной плоскости Π (плоскость, содержащая l1 и l2).

2. Лежат ли в одной плоскости все прямые, проходящие через точку M?

• Нет. Через одну и ту же точку M в пространстве можно провести бесконечно много прямых в разных направлениях, и не все они будут лежать в одной плоскости.
• Пример: возьмём точку M как начало координат. Пусть через M проходят три оси координат: Ox, Oy, Oz. Эти три прямые не лежат в одной плоскости.
• Таким образом, только те прямые через M, которые принадлежат одной и той же плоскости Π, лежат в одной плоскости; в общем случае прямые через M могут «расползаться» в разных направлениях и не образуют одну плоскость.