Задача Задача №3340020
А
А
Биссектриса треугольника АBC пересекаются в точке О причём LAOB=LBOC=110 градусов. А) докажите что треугольник ABC равнобедренный и укажите его основание. Б) найдите углы данного…
Запрос пользователя
Биссектриса треугольника АBC пересекаются в точке О причём LAOB=LBOC=110 градусов. А) докажите что треугольник ABC равнобедренный и укажите его основание. Б) найдите углы данного треугольника
Дано: точки A, B, C образуют треугольник, O — точка пересечения биссектрис треугольника ABC (то есть O — инцентр), и заданы ∠AOB = ∠BOC = 110°.
- Выразим углы ∠AOB и ∠BOC через углы треугольника ABC.
- AO и BO — биссектрисы углов A и B. В треугольнике AOB углы при A и B равны ∠BAO = A/2 и ∠ABO = B/2. Следовательно: ∠AOB = 180° − (A/2 + B/2) = 180° − (A + B)/2. Так как A + B = 180° − C, получаем: ∠AOB = 180° − (180° − C)/2 = 90° + C/2.
- Аналогично для ∠BOC: ∠BOC = 90° + A/2.
- Подставим данные ∠AOB = 110° и ∠BOC = 110°.
- 110° = 90° + C/2 ⇒ C/2 = 20° ⇒ C = 40°.
- 110° = 90° + A/2 ⇒ A/2 = 20° ⇒ A = 40°.
Найдём B: A + B + C = 180° ⇒ 40° + B + 40° = 180° ⇒ B = 100°.
Сделаем выводы.
- Так как A = C = 40°, стороны против них равны: BC = AB. Следовательно треугольник ABC равнобедренный, основание — AC (против массива угла B).
- Углы треугольника ABC: ∠A = 40°, ∠B = 100°, ∠C = 40°.
Ответ: A) треугольник ABC равнобедренный, основание AC. B) углы: ∠A = 40°, ∠B = 100°, ∠C = 40°.
