) √2015

Задача: √2015

Цель: понять решение подробно.

1. Разложение под корнем

• 2015 = 5 × 13 × 31.
• Упростить радикал нельзя, потому что в разложении на простые множители нет квадратов (каждый простой множитель встречается ровно по одному разу).
• Значит, корень √2015 записывается в простейшей форме как √2015 и является иррациональным числом.

2. Приближенное значение

• 44^2 = 1936, 45^2 = 2025, поэтому √2015 находится между 44 и 45.

3)Метод наближения (пример с методом Ньютона)

• Пусть n = 2015. Пусть начальное приближение x0 = 45.
• Первая итерация: x1 = (x0 + n/x0) / 2 = (45 + 2015/45) / 2. 2015/45 = 403/9, поэтому x1 = (45 + 403/9) / 2 = (808/9) / 2 = 404/9 ≈ 44.8889.
• Вторая итерация (для большей точности): x2 ≈ 44.88875 (значение получается путём подстановки в ту же формулу).
• Итог: √2015 ≈ 44.8888 (при округлении до 4 знаков после запятой).

Итого:

• Формально: √2015 = √(5·13·31) — устойчивая радикальная запись, не упрощается дальше.
• Приближённо: √2015 ≈ 44.8888.