Биссектриса угла А параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке К. Найдите периметр этого параллелограмма, если BK=15 см, KC=9 см

Задача: параллелограмм ABCD, AK — биссектриса угла A, пересекает BC в K. BK = 15 см, KC = 9 см. Найти периметр.

1. Найдём стороны параллелограмма.

• BC = BK + KC = 15 + 9 = 24 см.
• Противоположные стороны равны: BC = AD, значит AD = 24 см.
• Периметр P параллелограмма: P = 2(AB + BC). Нужно найти AB.

2. Вводим координаты для простоты рассуждений.

• Пусть A = (0, 0), AB направлена вдоль оси x, так что B = (x, 0), где x = AB (неизвестно).
• Пусть AD имеет длину 24 и направление в любой другой подветви: D = (p, q) с p^2 + q^2 = 24^2, и C = B + D = (x + p, q).
• Вектор BC = C − B = (p, q) имеет длину 24, что совпадает с длиной AD.

3. Направление биссектрисы угла BAD.

• Единичный вектор вдоль AB: (1, 0).
• Единичный вектор вдоль AD: (p/24, q/24).
• Направление биссектрисы AK пропорционально сумме этих единичных векторов: u = (1, 0) + (p/24, q/24) = (1 + p/24, q/24).

4. Найдём точку пересечения AK с BC.

• Уравнение AK: A + s u = s(1 + p/24, q/24), s ≥ 0.
• Уравнение BC: B + t BC = (x, 0) + t(p, q), t ∈ [0, 1].
• Равенство: s(1 + p/24) = x + t p и s(q/24) = t q.

5. Разрешим систему.

• Так как q ≠ 0 (иначе AD параллельно AB и площадь нулевая, что невозможно для параллелограмма), второе уравнение даёт t = s/24.
• Подставим в первое: s(1 + p/24) = x + (s/24)p.
• Упростим: s + (s p)/24 = x + (s p)/24 ⇒ s = x.

6. Следствие для BK и AB.

• Так как t = s/24 и s = x, получаем t = x/24.
• BK равен t умноженную на длину BC (поскольку BK лежит на BC длины 24): BK = t · 24 = x.
• Значит AB = x = BK = 15 см.

7. Периметр.

• AB = 15 см, BC = 24 см.
• P = 2(AB + BC) = 2(15 + 24) = 78 см.

Ответ: периметр параллелограмма равен 78 см.