Угол, противолежащий основанию равнобедренного треугольника, равен 120°. Высота, проведена к основанию, равна 3 см. Найдите боковую сторону этого треугольника
Пошаговое решение
Обозначим равнобедренный треугольник ABC, где AB = AC — боковые стороны, BC — основание. Вершина A противоположна основанию BC, и угол A равен 120°.
Высота AD к основанию BC в равнобедренном треугольнике совпадает с медианой и биссектрисой для вершины A. Значит, угол BAD и угол CAD по 60° каждый (половина от 120°).
Рассмотрим правую половину треугольника ABD. Здесь:
- AB = боковая сторона, которую нужно найти, обозначим как s.
- AD = высота к основанию = 3 см.
- ∠BAD = 60°.
- Гипотенуза треугольника ABD — AB = s.
Используем отношение косинуса в этом правом треугольнике: cos(60°) = прилежащий / гипотенуза = AD / AB = 3 / s.
Решаем относительно s: s = 3 / cos(60°) = 3 / 0.5 = 6 см.
Ответ: боковая сторона равна 6 см.
Дополнительно (проверка): половина основания DB = AB · sin(60°) = 6 · (√3/2) = 3√3, значит основание BC = 2 · 3√3 = 6√3. А Проверка Пифагорова: AD^2 + DB^2 = 3^2 + (3√3)^2 = 9 + 27 = 36 = AB^2, что подтверждает решение.
