Производная от y = корень 2x+5 -x/5

Задача: y = √(2x + 5) - x/5. Найдём производную.

Пошаговое решение:

1. Перепишем корень как степенную функцию: √(2x+5) = (2x+5)^{1/2}.

2. Дифференцируем каждую часть по x:

• d/dx[(2x+5)^{1/2}] = (1/2)(2x+5)^{-1/2} · d/dx(2x+5) = (1/2)(2x+5)^{-1/2} · 2 = 1/√(2x+5).
• d/dx[-x/5] = -1/5.

3. Сложим результаты (пользуясь линейностью производной): dy/dx = 1/√(2x+5) - 1/5.

4. Область существования производной: Функция y определена при 2x+5 ≥ 0, т.е. x ≥ -2,5. Производная существует для x > -2,5 (при x = -2,5 корень имеет нулевой знаменатель в производной первого члена). Следовательно, dy/dx определена на (-2.5, ∞).

Дополнительно можно записать в единичной дроби: dy/dx = (5 - √(2x+5)) / (5√(2x+5)), для x > -2.5.

Пример проверки: при x = 0 dy/dx = 1/√5 - 1/5 ≈ 0.4472 - 0.2 ≈ 0.2472.