Y=x—x³

Разберём функцию y = x − x^3 подробно, как для 11 класса алгебры с упором на понятное объяснение. 1) Основные сведения - Функция: y = x − x^3 = x(1 − x^2) = x(1 − x)(1 + x). - Область определения: все действительные числа. - Нули функции: при x = −1, 0, 1, так как y = 0 в этих точках. - Функция не симметрична относительно оси y, но является нечётной: f(−x) = −f(x). Это значит, график симметричен относительно начала координат. 2) Поведение графика и точки экстремума Чтобы найти, где функция возрастает/убывает, найдём первую производную: - dy/dx = 1 − 3x^2. Критические точки: dy/dx = 0 → 1 − 3x^2 = 0 → x^2 = 1/3 → x = ± 1/√3. Вторая производная для характера экстремумов: - d²y/dx² = −6x. - В точке x = 1/√3: d²y/dx² < 0 → локальный максимум. - В точке x = −1/√3: d²y/dx² > 0 → локальный минимум. Значения в критических точках: - y(1/√3) = (1/√3) − (1/√3)^3 = (1/√3) − (1/(3√3)) = 2/(3√3) ≈ 0.385. - y(−1/√3) = −(1/√3) − (−1/√3)^3 = −(1/√3) + 1/(3√3) = −2/(3√3) ≈ −0.385. Итак, график имеет локальный максимум в(x, y) = (1/√3, 2/(3√3)) и локальный минимум в (−1/√3, −2/(3√3)). 3) Концепции выпуклости/профиля графика - Вторая производная: f''(x) = −6x. - График выпуклый вверх (конкавность вверх) на интервале x < 0, выпуклый вниз (конкавность вниз) на интервале x > 0. - Точка перегиба по оси координат: x = 0, где y = 0. График меняет выпуклость в этой точке. 4) Интервалы возрастания/убывания - dy/dx = 1 − 3x^2 > 0 тогда, когда |x| < 1/√3. Это промежуток (−1/√3, 1/√3). - dy/dx < 0 тогда, когда |x| > 1/√3. Это промежутки (−∞, −1/√3) и (1/√3, ∞). Следовательно: - Функция возрастает на (−1/√3, 1/√3). - Убывает на (−∞, −1/√3) и (1/√3, ∞). 5) Значения на концах и поведение при бесконечности - При больших положительных x доминирует −x^3, поэтому y → −∞. - При больших отрицательных x доминирует −x^3 с отрицательным x, поэтому y → +∞. - График пересекает ось Ox в точках x = −1, 0, 1 ( zeros ), и ось Oy в точке (0, 0). 6) Краткое резюме ключевых характеристик - zeros: x = −1, 0, 1. - асимптотического поведения нет (полиномиальная функция). - максимальное значение локального экстремума: y = 2/(3√3) при x = 1/√3. - минимальное значение локального экстремума: y = −2/(3√3) при x = −1/√3. - точка перегиба: x = 0, y = 0. - график — кубическая кривая типа S с ведущим членом −x^3, проходит через −1, 0, 1 и обладает симметрией относительно начала координат. Если хочешь, могу привести набросок OSHA-графика или привести конкретные примерные касательные в заданных точках. Также можно обсудить, как y = x − x^3 изменится при добавлении множителей или сдвигов.