y=x—x³

Разберём функцию y = x − x^3 подробно, как для 11 класса алгебры с упором на понятное объяснение.

1. Основные сведения

• Функция: y = x − x^3 = x(1 − x^2) = x(1 − x)(1 + x).
• Область определения: все действительные числа.
• Нули функции: при x = −1, 0, 1, так как y = 0 в этих точках.
• Функция не симметрична относительно оси y, но является нечётной: f(−x) = −f(x). Это значит, график симметричен относительно начала координат.

2. Поведение графика и точки экстремума Чтобы найти, где функция возрастает/убывает, найдём первую производную:

• dy/dx = 1 − 3x^2.

Критические точки: dy/dx = 0 → 1 − 3x^2 = 0 → x^2 = 1/3 → x = ± 1/√3.

Вторая производная для характера экстремумов:

• d²y/dx² = −6x.
• В точке x = 1/√3: d²y/dx² < 0 → локальный максимум.
• В точке x = −1/√3: d²y/dx² > 0 → локальный минимум.

Значения в критических точках:

• y(1/√3) = (1/√3) − (1/√3)^3 = (1/√3) − (1/(3√3)) = 2/(3√3) ≈ 0.385.
• y(−1/√3) = −(1/√3) − (−1/√3)^3 = −(1/√3) + 1/(3√3) = −2/(3√3) ≈ −0.385.

Итак, график имеет локальный максимум в(x, y) = (1/√3, 2/(3√3)) и локальный минимум в (−1/√3, −2/(3√3)).

3. Концепции выпуклости/профиля графика

• Вторая производная: f''(x) = −6x.
• График выпуклый вверх (конкавность вверх) на интервале x < 0, выпуклый вниз (конкавность вниз) на интервале x > 0.
• Точка перегиба по оси координат: x = 0, где y = 0. График меняет выпуклость в этой точке.

4. Интервалы возрастания/убывания

• dy/dx = 1 − 3x^2 > 0 тогда, когда |x| < 1/√3. Это промежуток (−1/√3, 1/√3).
• dy/dx < 0 тогда, когда |x| > 1/√3. Это промежутки (−∞, −1/√3) и (1/√3, ∞).

Следовательно:

• Функция возрастает на (−1/√3, 1/√3).
• Убывает на (−∞, −1/√3) и (1/√3, ∞).

5. Значения на концах и поведение при бесконечности

• При больших положительных x доминирует −x^3, поэтому y → −∞.
• При больших отрицательных x доминирует −x^3 с отрицательным x, поэтому y → +∞.
• График пересекает ось Ox в точках x = −1, 0, 1 ( zeros ), и ось Oy в точке (0, 0).

6. Краткое резюме ключевых характеристик

• zeros: x = −1, 0, 1.
• асимптотического поведения нет (полиномиальная функция).
• максимальное значение локального экстремума: y = 2/(3√3) при x = 1/√3.
• минимальное значение локального экстремума: y = −2/(3√3) при x = −1/√3.
• точка перегиба: x = 0, y = 0.
• график — кубическая кривая типа S с ведущим членом −x^3, проходит через −1, 0, 1 и обладает симметрией относительно начала координат.

Если хочешь, могу привести набросок OSHA-графика или привести конкретные примерные касательные в заданных точках. Также можно обсудить, как y = x − x^3 изменится при добавлении множителей или сдвигов.