Задача: AC = 2 · AB, P = 20, найти AB, BC, AC.
Давайте обозначим AB как x. Тогда:
- AC = 2x
- Perimeter P = AB + BC + AC = x + BC + 2x = 3x + BC
Так как P = 20, получаем BC = 20 − 3x.
Теперь применим неравенства треугольника ( сумма любых двух сторон больше третьей ):
- AB + BC > AC: x + (20 − 3x) > 2x → 20 − 2x > 2x → x < 5
- BC + AC > AB: (20 − 3x) + 2x > x → 20 − x > x → x < 10
- AB + AC > BC: x + 2x > 20 − 3x → 3x > 20 − 3x → 6x > 20 → x > 20/6 ≈ 3.333...
Суммируя: 20/6 < x < 5, то есть x ∈ (10/3, 5). Это означает, что существует бесконечно много решений в вещественных числах (на примере любого x в этом промежутке мы получаем допустимый треугольник).
Специально для целых сторон (часто так и просят в задачах школьной геометрии): x должно быть целым. В интервале (10/3, 5) единственное целое значение x = 4.
Следовательно:
- AB = x = 4
- AC = 2x = 8
- BC = 20 − 3x = 8
Проверка: 4 + 8 + 8 = 20, и AC = 2·AB: 8 = 2·4. Всё верно.
Итого: при целых сторонах AB = 4, BC = 8, AC = 8. Если же разрешены вещественные стороны, то любой AB в промежутке (10/3, 5) даёт допустимый треугольник с BC = 20 − 3AB и AC = 2AB.
