постройте график функции y=2x²+8x+2

Задача: построить график y = 2x^2 + 8x + 2.

Коротко о графике: парабола вверх (поскольку a = 2 > 0), вершина в точке, ось симметрии x = -2.

Пошаговое решение и параметры графика

1. Приведём к форме вершины (п Completing the square): y = 2x^2 + 8x + 2 = 2(x^2 + 4x) + 2 = 2[(x + 2)^2 - 4] + 2 = 2(x + 2)^2 - 8 + 2 = 2(x + 2)^2 - 6

Значит, график — парабола в форме вершины: y = 2(x + 2)^2 - 6.

2. Координаты вершин и ось симметрии

• Вершина: V(-2, -6)
• Ось симметрии: x = -2
• Направление открытия: вверх (a > 0)
• Минимум функции: y_min = -6 при x = -2
• Диапазон значений: y ≥ -6

3. Нули функции (пересечение с осью x) Корни из решения 2x^2 + 8x + 2 = 0: D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4·2·2 = 64 - 16 = 48 x = [-8 ± √48] / (2·2) = [-8 ± 4√3] / 4 = -2 ± √3

Точные корни: x1 = -2 - √3, x2 = -2 + √3. Приближённо:

• x1 ≈ -3.732
• x2 ≈ -0.268

4. Y-перехват (пересечение с осью y) При x = 0: y = 2 Точка пересечения с осью y: (0, 2)

5. Другие контрольные точки (для рисунка)

• x = -4: y = 2(-4)^2 + 8(-4) + 2 = 32 - 32 + 2 = 2 → точка (-4, 2)
• x = -3: y = 2(-3)^2 + 8(-3) + 2 = 18 - 24 + 2 = -4 → точка (-3, -4)
• x = -1: y = 2(-1)^2 + 8(-1) + 2 = 2 - 8 + 2 = -4 → точка (-1, -4)
• x = 0: y = 2 → точка (0, 2)

6. Как построить график (инструкция)

• Нарисуйте координатную сетку.
• Отметьте ось x и ось y, возьмите шкалы так, чтобы можно было видеть вершину и корни (например, x от -5 до 1, y от -8 до 30).
• Отметьте вершину V(-2, -6) и ось симметрии x = -2.
• Поставьте точки: корни (-2 - √3, 0) и (-2 + √3, 0), y-пересечение (0, 2), а также пары точек вроде (-4, 2), (-3, -4), (-1, -4), (0, 2).
• Соедините точки плавной U-образной кривой, учитывая, что парабола симметрична относительно x = -2 и открывается вверх.

Коротко суммируя характеристики графика

• Форма: парабола вверх
• Вершина: (-2, -6)
• Ось симметрии: x = -2
• Нули: x = -2 ± √3
• y-перехват: (0, 2)
• Диапазон: y ≥ -6

Если хотите, могу привести пример готового наброска графика или помочь построить его в любом инструменте (калькуляторе, графическом приложении или на бумаге) с заданной масштабной сеткой.