. 4. Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна 10 см и делит её на отрезки длиной 5 см и 20 см. Найдите катеты треугольника

Задача: в прямоугольном треугольнике высота h к гипотенузе равна 10 см, гипотенуза разбита на отрезки длиной p = 5 см и q = 20 см. Найти катеты. Пошаговое решение: 1) Найдем длину гипотенузы c. - Гипотенуза разрезана на p и q, значит c = p + q = 5 + 20 = 25 см. 2) Связанные с высотой отношения в прямоугольном треугольнике. - h^2 = p q = 5 · 20 = 100. Это совпадает с данным h = 10 см, поэтому данные согласованы. - Кроме того, существуют формулы для длин катетов: a^2 = c · p b^2 = c · q где a и b — длины катетов, а p и q — соответствующие участки гипотенузы (приближённо: p примыкает к одному катету, q — к другого). 3) Вычислим длины катетов. - Катет a: a^2 = c · p = 25 · 5 = 125 → a = √125 = 5√5 см. - Катет b: b^2 = c · q = 25 · 20 = 500 → b = √500 = 10√5 см. 4) Проверка (необязательно, но полезно). - Сумма квадратов катетов: (5√5)^2 + (10√5)^2 = 125 + 500 = 625 = 25^2, что равно квадрату гипотенузы. Также можно проверить h = (a·b)/c: (5√5 · 10√5)/25 = (50 · 5)/25 = 250/25 = 10 см. Всё верно. Ответ: Катеты равны 5√5 см и 10√5 см (примерно 11,18 см и 22,36 см). Выбор порядка катетов зависит от того, к какому из отрезков p или q прикладывается соответствующий катет.