125y³+1/1-5y+25y²

Задача: (125y^3 + 1) / (1 - 5y + 25y^2)

По виду числителя и знаменателя заметим паттерн суммы кубов и квадрата:

• 125y^3 = (5y)^3 и 1 = 1^3, значит числитель можно разложить как a^3 + b^3 с a = 5y, b = 1.
• Знаменатель: 1 - 5y + 25y^2 = (5y)^2 - (5y)(1) + 1^2 = a^2 - ab + b^2.

Используем тождество суммы кубов: a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2).

Тогда (125y^3 + 1) / (1 - 5y + 25y^2) = (a^3 + b^3) / (a^2 - ab + b^2) = a + b = 5y + 1.

Пояснения по области допустимых значений: Знаменатель равен 25y^2 - 5y + 1. Уравнение 25y^2 - 5y + 1 = 0 имеет дискриминант Δ = (-5)^2 - 4·25·1 = 25 - 100 = -75, следовательно для всех действительных y знаменатель не обращается в ноль. В комплексной области возможны два комплексных корня y = (1 ± i√3)/10, где выражение не определено.

Итого: упрощение даёт 5y + 1 (для всех реальных y). При желании можно проверить, разложив обратно: (5y + 1)(25y^2 - 5y + 1) = 125y^3 + 1.