Как решить задачу под номером 464

Задача 464: найти количество диагоналей выпуклого n-угольника. Метод 1 (более наглядный): из каждой вершины можно провести диагонали к всем вершинам, кроме самой вершины и её соседей. Это значит, что из одной вершины можно провести n − 3 диагонали. Всего вершин n, значит суммарно диагоналей учтём n(n − 3). Но каждая диагональ считается дважды (из обеих концов), поэтому число диагоналей равно половине этой суммы: D = n(n − 3)/2. Метод 2: общее число сочетаний пар вершин минус стороны. Всего можно соединить пары вершин C(n, 2) = n(n − 1)/2. Из них n соединений — это стороны многоугольника. Значит диагоналей D = C(n, 2) − n = n(n − 1)/2 − n = n(n − 3)/2. Применим к задачам: a) Выпуклого пятиугольника (n = 5): D = 5(5 − 3)/2 = 5·2/2 = 5. b) Выпуклого двенадцатиугольника (n = 12): D = 12(12 − 3)/2 = 12·9/2 = 108/2 = 54. c) Выпуклого двадцатиугольника (n = 20): D = 20(20 − 3)/2 = 20·17/2 = 340/2 = 170. Ответ: a) 5 диагоналей; b) 54 диагоналей; c) 170 диагоналей.