Как решить задачу номер 465

Задача 465: у выпуклого n-угольника все углы равны. Найдём количество сторон для каждого значения угла.

1. Суть

• Сумма внутренних углов любого n-угольника равна (n − 2) · 180°.
• Если углы равны и равны A, то каждый угол A = [(n − 2) · 180] / n.
• Отсюда: A n = 180(n − 2) → An = 180n − 360 → (180 − A)n = 360 → n = 360 / (180 − A).

2. Применяем к каждому случаю a) A = 90°

• n = 360 / (180 − 90) = 360 / 90 = 4
• Ответ: четырехугольник (для углов 90° получается прямоугольник; все углы по 90°, значит выпуклый четырехугольник).

б) A = 60°

• n = 360 / (180 − 60) = 360 / 120 = 3
• Ответ: треугольник (равносторонний треугольник имеет углы по 60°).

в) A = 120°

• n = 360 / (180 − 120) = 360 / 60 = 6
• Ответ: шестиугольник.

г) A = 108°

• n = 360 / (180 − 108) = 360 / 72 = 5
• Ответ: пятиугольник.

Итог:

• а) 4 стороны
• б) 3 стороны
• в) 6 сторон
• г) 5 сторон