платформа движется со скоростью v¹=1м/с. По платформе идёт человек со скоростью v²=1м/с в направлении, составляющем 60° с направлением движения платформы. Определить скорость и…

Задача: платформа движется со скоростью v1 = 1 м/с вдоль какого-то направления. Человек на платформе движется со скоростью v2 = 1 м/с в направлении, образующем с направлением платформы угол 60°. Найти скорость человека относительно Земли. Сделаем двумя способами: геометрически (через сумма векторoв) и алгебраически (по проекциям).

Общие обозначения

• Пусть направление платформы задаётся вдоль положительного x-оси.
• Тогда v1 = (1, 0) м/с.
• Скорость человека относительно платформы: модуль 1 м/с и угол 60° к направлению платформы, т.е. вектор v2 имеет угол 60° от оси x. Его компоненты: v2x = cos 60° = 1/2, v2y = sin 60° = √3/2.

1. Геометрический способ (складывая векторные величины параллелограммом)

• Сумма векторов: v = v1 + v2.
• Магнитуда: |v|^2 = |v1|^2 + |v2|^2 + 2|v1||v2|cosθ, где θ = 60°. |v|^2 = 1^2 + 1^2 + 2·1·1·cos60° = 1 + 1 + 2·1/2 = 3 → |v| = √3 м/с ≈ 1.732 м/с.
• Направление: угол φ между вектором v и направлением платформы можно найти по tan φ = (|v2| sinθ) / (|v1| + |v2| cosθ). tan φ = (1·sin60°) / (1 + cos60°) = (√3/2) / (1 + 1/2) = (√3/2) / (3/2) = √3/3. φ = arctan(√3/3) = 30°.
• Следовательно, вектор скорости относительно земли: длина √3 м/с, направление на 30° выше направления платформы.
• Альтернативно в компонентном виде: v = (1.5, √3/2) м/с ≈ (1.5, 0.866) м/с.

2. Алгебраический способ (проекции на координаты)

• Выберем те же оси: x — вдоль направления платформы, y — перпендикулярно.
• Компоненты скоростей:
  • v1x = 1, v1y = 0.
  • v2x = cos 60° = 1/2, v2y = sin 60° = √3/2.
• Сумма компонентов:
  • vx = v1x + v2x = 1 + 1/2 = 3/2.
  • vy = v1y + v2y = 0 + √3/2 = √3/2.
• Магнитуда: |v| = sqrt(vx^2 + vy^2) = sqrt((3/2)^2 + (√3/2)^2) = sqrt(9/4 + 3/4) = sqrt(12/4) = √3 м/с.
• Направление: tan θ = vy / vx = (√3/2) / (3/2) = √3/3 → θ = 30°.
• Ответ тот же: relative to ground, скорость ≈ √3 м/с, направление 30° к направлению платформы (выше по отношению к движению платформы).

Итак, скорость человека относительно Земли равна √3 м/с, направление — на 30° вперед по движению платформы. Если принять направление человека на той же стороне от платформы (вверх по оси y), угол 30° вверх; при альтернативной стороне угол был бы −30°.