Треугольник ABC является параллельной проекцией треугольника A1B1C1. В треугольнике A1B1C1 проведены из вершины A1 биссектриса медиана и высота. Будут ли проекции этих отрезков соответс соответсвенно биссектрисой медианой и высотой?

Коротко: при параллельной проекции треугольника A1B1C1 на плоскость ABC сохраняются линии и середины отрезков, но не сохраняются углы и перпендикулярности. Значит, из трёх данных построений можно ожидать только сохранение медианы; биссектриса и высота в общем случае не сохраняются. Детально по шагам: 1) Что за отображение? - Параллельная проекция вдоль фиксированного направления на плоскость ABC действует как афинное преобразование (линии переходят в линии, точки переходят в точки, середины сохраняются). - Поэтому свойство «медиана превращается в медиану» скорее всего выполняется, потому что афинные отображения сохраняют середины и связывают соответствующие вершины с соответствующими вершинами. 2) Медиана A1M1 к ABC - Пусть M1 — середина B1C1 в исходном треугольнике A1B1C1. - Под действием параллельной проекции A1 → A, B1 → B, C1 → C, точка M1 переходит в M — середину B'C' (где B'C' — образ B1C1). - Отрезок A1M1 отображается в отрезок AM, который соединяет A и середину B'C'. Это и есть медиана треугольника ABC. - Значит, проекция медианы A1M1 является медианой ABC. В этом случае ответ утвердительный. 3) Биссектриса A1 и её проекция - Биссектриса из A1 — это прямая через A1, которая делит угол ∠B1A1C1 на два равных угла. - Перепроецировав на плоскость ABC, прямая через A (образ A1) проецируется в некоторую прямую через A, но угол между проекцииами AB и AC обычно не сохраняется и, следовательно, проекция биссектрисы не обязана делить угол ∠BAC пополам. - Следовательно, в общем случае проекция биссектрисы A1 на ABC не будет биссектрисой ∠BAC. 4) Высота A1H1 к ABC - Высота H1A1 — прямая через A1, перпендикулярная к стороне B1C1 в плоскости A1B1C1. - Афинные отображения не сохраняют перпендикулярность: прямая, перпендикулярная B1C1, после проекции может оказаться не перпендикулярной к BC. - Значит, проекция высоты не обязана быть высотой треугольника ABC. 5) Когда всё же верно для всех трёх? - Если параллельная проекция на самом деле является надлежащим сходством (то есть превращение сочетает вращение, равномерное масштабирование и перенос, без деформаций, которые нарушают углы), то тогда проекции сохраняют углы и перпендикулярности, и тогда проекции будут соответствовать биссектрисе, медиане и высоте. - Но обычная параллельная проекция не является подобием в общем случае, поэтому такие случаи редки и требуют дополнительных условий (например, проекции, которые действуют как однотипное масштабирование по всем направлениям). Ответ: - Проекция медианы A1M1 является медианой ABC (да). - Проекция биссектрисы A1 и проекция высоты A1H1 в общем случае не являются соответственно биссектрисой и высотой треугольника ABC (нет). - В отдельных специальны случаях, когда параллельная проекция сохраняет углы (т.е. является подобием на видной плоскости), всё будет верно и для всех трёх отрезков. Но в общем случае — только медиана сохраняется.