г) 72²+6ⁿ делится на зо

Предположим, что задача г звучит как: докажите, что число 72^2 + 6^n делится на 30 (для n ∈ N).

Пошаговое решение:

1. Кратность по 2

• 72^2 = 5184 — чётное.
• 6^n — чётное для любого n ≥ 1.
• Сумма двух чётных чисел чётна, значит делится на 2.

2. Кратность по 3

• 72^2 = 5184, сумма цифр 5+1+8+4 = 18, следовательно 5184 кратно 3.
• 6^n кратно 3 для любого n ≥ 1.
• Сумма кратна 3.

3. Кратность по 5

• Рассмотрим по модулю 5: 72 ≡ 2 (mod 5), значит 72^2 ≡ 4 (mod 5).
• 6 ≡ 1 (mod 5), значит 6^n ≡ 1 (mod 5) для любого n ≥ 1.
• Тогда 72^2 + 6^n ≡ 4 + 1 ≡ 0 (mod 5), т.е. делится на 5.

Так как число делится и на 2, и на 3, и на 5, то оно делится на НОК(2,3,5) = 30.

Вывод: для любого n ≥ 1 число 72^2 + 6^n кратно 30.

Примечание: если бы n=0, т.е. 6^n = 1, то 72^2 + 6^0 = 5185, которое не делится на 30. Поэтому предполагаем, что n натурально положительно. Если же ваш задачник имел другой делитель (например, 60), скажите—покажу решение под нужный делитель.