как правильно гибИнький или гибЕнький

Коротко: правильно писать именно гибенький.

Разбор:

• Базовое слово: гибкий.
• Для разговорного/уменьшительно-ласкательного варианта к основе гибкий обычно образуют суффиксом -еньк-: гибенький.
• Вариант гибонький встречается реже и считается менее нормативным/разговорным. В школьной орфографии его обычно не приводят как стандартную форму.
• Зачем так? Если ваша форма заканчивается на -к-, в ласковом варианте часто употребляют -еньк- (как в примере мягкий → мягенький).

Примеры:

• В обычной речи: гибкий механизм.
• Разговорно/ласково: гибенький велосипед, гибенький карандаш (такой стиль подходит не для формальных текстов, а для дружеского или творческого стиля).

Итого:

• Нормативно и чаще встречается: гибенький.
• Правильность гибИнький или гибЕнький в этом контексте — считать нельзя: оба варианта с такими буквами не соответствуют стандартной форме; правильная ласковая форма — гибенький.