как правильно гибИнький или гибЕнький

Коротко: правильная литературная форма — гибкий. Ударение в слове гибкий ставится на первый слог: ги́бкий.

Что касается ласкательных форм с суффиксом -оньк-/-еньк- (где такие формы обычно образуют от прилагательного гибкий):

• В разговорной речи встречаются варианты гибонький и гибенький.
• Это разговорная (разговорно-розговорная) лексика, а в словарях как основа и в школьной норме чаще не приводят как обязательные формы к учебным текстам.

Итого:

• базовое слово: ги́бкий (ударение на первый слог).
• формы гибонький/гибенький — разговорные, употребляйте их с оговоркой на стиль речи; в формальном/литературном тексте их лучше избегать, если задача – строгое оформление.