В ромбе A B C D ABCD ∣ A C ⃗ ∣ = 6 ∣ AC ∣=6, ∣ B D ⃗ ∣ = 8 ∣ BD ∣=8. От вершин C C и D D отложены векторы C M ⃗ CM и D N ⃗ DN , равные D B ⃗ DB и C A ⃗ CA соответственно. Найди длину вектора M N ⃗ MN .

Решение через координаты (пояснение по шагам): 1) Свойства ромба: - Диагонали AC и BD пересекаются в серединах и взаимно перпендикулярны. - Длина AC = 6, длина BD = 8. - Пусть пересечение диагоналей O — середина диагоналей. Тогда OA = OC = 3, OB = OD = 4. 2) Задаем координаты: - O = 0, ось x вдоль AC, ось y вдоль BD. - A = (-3, 0), C = (3, 0). - B = (0, 4), D = (0, -4). 3) Векторы DB и CA: - DB = B − D = (0, 4) − (0, −4) = (0, 8). - CA = A − C = (−3, 0) − (3, 0) = (−6, 0). 4) Точки M и N: - CM = DB, значит M = C + DB = (3, 0) + (0, 8) = (3, 8). - DN = CA, значит N = D + CA = (0, −4) + (−6, 0) = (−6, −4). 5) Вектор MN и его длина: - MN = N − M = (−6 − 3, −4 − 8) = (−9, −12). - |MN| = sqrt(9^2 + 12^2) = sqrt(81 + 144) = sqrt(225) = 15. Ответ: длина вектора MN равна 15.