Задача Задача №3346336
А
А
В ромбе A B C D ABCD ∣ A C ⃗ ∣ = 6 ∣ AC ∣=6, ∣ B D ⃗ ∣ = 8 ∣ BD ∣=8. От вершин C C и D D отложены векторы C M ⃗ CM и D N ⃗ DN , равные D B ⃗ DB и C A ⃗ CA соответственно. Найди…
Запрос пользователя
В ромбе A B C D ABCD ∣ A C ⃗ ∣ = 6 ∣ AC ∣=6, ∣ B D ⃗ ∣ = 8 ∣ BD ∣=8. От вершин C C и D D отложены векторы C M ⃗ CM и D N ⃗ DN , равные D B ⃗ DB и C A ⃗ CA соответственно. Найди длину вектора M N ⃗ MN .
Решение через координаты (пояснение по шагам):
- Свойства ромба:
- Диагонали AC и BD пересекаются в серединах и взаимно перпендикулярны.
- Длина AC = 6, длина BD = 8.
- Пусть пересечение диагоналей O — середина диагоналей. Тогда OA = OC = 3, OB = OD = 4.
- Задаем координаты:
- O = 0, ось x вдоль AC, ось y вдоль BD.
- A = (-3, 0), C = (3, 0).
- B = (0, 4), D = (0, -4).
- Векторы DB и CA:
- DB = B − D = (0, 4) − (0, −4) = (0, 8).
- CA = A − C = (−3, 0) − (3, 0) = (−6, 0).
- Точки M и N:
- CM = DB, значит M = C + DB = (3, 0) + (0, 8) = (3, 8).
- DN = CA, значит N = D + CA = (0, −4) + (−6, 0) = (−6, −4).
- Вектор MN и его длина:
- MN = N − M = (−6 − 3, −4 − 8) = (−9, −12).
- |MN| = sqrt(9^2 + 12^2) = sqrt(81 + 144) = sqrt(225) = 15.
Ответ: длина вектора MN равна 15.
