4⁸*9⁷+6¹²*180/8⁶*3¹⁴-6¹⁴

Цель: понять и подробно разобрать задание по алгебре 8 класса.

Расставим порядок действий: в выражении 4⁸9⁷+6¹²180/8⁶*3¹⁴-6¹⁴ сначала разложим на простые степени и применим правила степеней, затем выполним умножение и деление слева направо, а в конце сложим все и приведём к одной дроби.

1. Приведем каждый множитель к степеням простых чисел

• 4 = 2², 9 = 3², 6 = 2·3, 180 = 2²·3²·5, 8 = 2³, 3 остаётся как 3, 6¹⁴ = (2·3)¹⁴.

2. Вычислим каждый член по степеням

• A = 4⁸ · 9⁷ = (2²)⁸ · (3²)⁷ = 2^(2·8) · 3^(2·7) = 2¹⁶ · 3¹⁴.
• B = 6¹² · 180 / 8⁶ · 3¹⁴.
  • 6¹² = (2·3)¹² = 2¹² · 3¹².
  • 180 = 2² · 3² · 5.
  • 8⁶ = (2³)⁶ = 2¹⁸.
  • Значит B = (2¹² · 3¹² · 2² · 3² · 5) / 2¹⁸ · 3¹⁴ = (2^(12+2) · 3^(12+2) · 5) / 2¹⁸ · 3¹⁴ = (2¹⁴ · 3¹⁴ · 5) / 2¹⁸ · 3¹⁴ = (3¹⁴ · 5) / 2⁴ · 3¹⁴ = (5 · 3¹⁴) / 16 · 3¹⁴ = (5 · 3²⁸) / 16.
• C = 6¹⁴ = (2·3)¹⁴ = 2¹⁴ · 3¹⁴.

Итого наш исходный числитель — A + B − C: E = 2¹⁶ · 3¹⁴ + (5 · 3²⁸) / 16 − 2¹⁴ · 3¹⁴.

3. Приведём к общей дроби с знаменателем 16 E = [16 · (2¹⁶ · 3¹⁴) + 5 · 3²⁸ − 16 · (2¹⁴ · 3¹⁴)] / 16

• 16 · (2¹⁶ · 3¹⁴) = 2² · 2¹⁶ · 3¹⁴ = 2²⁰ · 3¹⁴.
• 16 · (2¹⁴ · 3¹⁴) = 2¹⁶ · 3¹⁴? Нет: 16 = 2⁴, так что это 2¹⁸ · 3¹⁴. Итого: E = [2²⁰ · 3¹⁴ + 5 · 3²⁸ − 2¹⁸ · 3¹⁴] / 16.

4. Упростим числитель, вынеся общий множитель 3¹⁴ N = 2²⁰ · 3¹⁴ − 2¹⁸ · 3¹⁴ + 5 · 3²⁸ = 3¹⁴ · (2²⁰ − 2¹⁸) + 5 · 3²⁸ = 3¹⁴ · (2¹⁸ · (2² − 1)) + 5 · 3²⁸ = 3¹⁴ · (3 · 2¹⁸) + 5 · 3²⁸ = 3¹⁴ · (3 · 2¹⁸ + 5 · 3¹⁴).

Так и запишем окончательно: E = [3¹⁴ · (3 · 2¹⁸ + 5 · 3¹⁴)] / 16.

5. Числовое значение (по возможности посчитать точнее)

• 3¹⁴ = 4 782 969.
• 2¹⁸ = 262 144.
• 3 · 2¹⁸ = 786 432.
• 5 · 3¹⁴ = 5 · 4 782 969 = 23 914 845.
• В скобках: 786 432 + 23 914 845 = 24 701 277.
• Следовательно N = 3¹⁴ · 24 701 277 = 4 782 969 · 24 701 277 = 118 145 442 151 413.
• Значение E = N / 16 = 118 145 442 151 413 / 16.
• Это дробь, можно оставить как несократимую дробь: 118145442151413 / 16.
• Или в виде десятичной дроби: 7 384 090 134 463.3125.

Итого:

• Исходное выражение равно 118145442151413 / 16 (примерно 7 384 090 134 463.3125).
• Есть альтернативная форма записи: 3¹⁴ · (3 · 2¹⁸ + 5 · 3¹⁴) / 16.

Если хочешь, могу проверить другое распространённое прочтение порядка действий (например, если трактовать выражение как (4⁸ · 9⁷ + 6¹² · 180) / (8⁶ · 3¹⁴) − 6¹⁴), но по обычным правилам математики умножение и деление идут слева направо, так что приведённый разбор соответствует этому варианту.