сформулируйте и докажите утверждение о признаке равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу

Утверждение Пусть ΔABC и ΔA′B′C′ — прямоугольные треугольники, причём ∠B = ∠B′ = 90°. Если

• один острый угол равен: ∠A = ∠A′ (то есть соответствующие острые углы равны),
• гипотенузы равны: AC = A′C′,

то треугольники ΔABC и ΔA′B′C′ конгруэнтны (соответственные стороны равны).

Доказательство 1. через подобие (AA) и SR

• Так как оба треугольника прямоугольные и ∠A = ∠A′, то оставшиеся углы тоже равны: ∠C = 90° − ∠A и ∠C′ = 90° − ∠A′, следовательно ∠C = ∠C′. Значит треугольники ΔABC и ΔA′B′C′ подобны (по двум углам = AA).
• Соответствие верное: A ↔ A′, B ↔ B′, C ↔ C′. Тогда существует коэффициент подобия k > 0, такой что AB = k · A′B′, BC = k · B′C′, AC = k · A′C′.
• По условию AC = A′C′, значит k = 1. Следовательно AB = A′B′ и BC = B′C′, плюс AC = A′C′. То есть треугольники конгруэнтны (SSS).

Доказательство 2. через три стороны (соотношения cos и sin)

• Обозначим ∠A = α. В правом треугольнике ABC имеем: AB = AC · cos α, BC = AC · sin α.
• Во втором треугольнике A′B′C′ тоже ∠A′ = α и гипотенуза A′C′ такая же по условию: A′C′ = AC. Поэтому A′B′ = A′C′ · cos α = AC · cos α = AB, и B′C′ = A′C′ · sin α = AC · sin α = BC.
• Имеем AB = A′B′ и BC = B′C′ при равной гипотенузе, следовательно треугольники совпадают по всем сторонам (SSS). Значит они конгруэнтны.

Следствие Если две прямоугольные треугольники имеют равную гипотенузу и равный один острый угол, то они равны по всем элементам (конгруэнтны). Это и есть искомый признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу.