y²-x²/x²-2xy+y²- решить уравнение
Похоже, задача просит упростить выражение: (y^2 − x^2) / (x^2 − 2xy + y^2)
Ниже подробное решение по шагам.
- Распишем числитель и знаменатель через известные формулы
- Числитель: y^2 − x^2 = (y − x)(y + x) = −(x − y)(x + y)
- Знаменатель: x^2 − 2xy + y^2 = (x − y)^2
Подстановка в дробь (y^2 − x^2) / (x^2 − 2xy + y^2) = [−(x − y)(x + y)] / (x − y)^2
Сокращение общего множителя При условии x ≠ y имеем: [−(x − y)(x + y)] / (x − y)^2 = − (x + y) / (x − y)
Итого: Упрощённое выражение = − (x + y) / (x − y) = (x + y) / (y − x)
- Область определения Дробь определена тогда, когда знаменатель не равен нулю, то есть (x − y)^2 ≠ 0 ⇒ x ≠ y. При x = y исходное выражение имеет 0/0 и не определено.
Примеры проверки:
- Пусть x = 2, y = 5: исходное = (25 − 4) / (4 − 20 + 25) = 21 / 9 = 7/3; упрощённо: −(2+5)/(2−5) = −7/−3 = 7/3. Совпало.
Дополнительная часть (если задача была именно решить уравнение, т.е. задать правую часть равной константе) Если дано уравнение: (y^2 − x^2) / (x^2 − 2xy + y^2) = c, то заменяем левую часть на −(x + y)/(x − y): −(x + y)/(x − y) = c
Построение решения для y через x:
Если c ≠ 1: −(x + y) = c(x − y) −x − y = cx − cy (−1 − c)x + (−1 + c)y = 0 y = −(1 + c)/(1 − c) · x
Если c = 1: −(x + y) = x − y ⇒ −2x = 0 ⇒ x = 0 и требует x ≠ y, т.е. y ≠ 0. Решения: все пары (0, y) с y ≠ 0.
Если c = −1: −(x + y) = −(x − y) ⇒ −y = y ⇒ y = 0 и требуется x ≠ y, т.е. x ≠ 0. Решения: все пары (x, 0) с x ≠ 0.
Если нужно, могу адаптировать решение под конкретное RHS и класс/уровень.
Хотите, чтобы я проверил именно эту задачу с учётом конкретного RHS или добавил примеры на разных значениях x и y? Также уточните, правильно ли я понял задание: упрощение выражения или решение уравнения с заданным правой частью.
