реши пример

Задача: 4/(x−4) + 9/(x+1) = 11/2, при этом x ≠ 4 и x ≠ −1.

Пошаговое решение:

1. Очевидно, что знаменатели не равны нулю: x ≠ 4, x ≠ −1.

2. Убираем дроби, домножив обе стороны на общий множитель 2(x−4)(x+1):

• левая часть: 4/(x−4) умножить на 2(x−4)(x+1) даёт 8(x+1) и 9/(x+1) умножить на 2(x−4)(x+1) даёт 18(x−4)
• правая часть: (11/2) умножить на 2(x−4)(x+1) даёт 11(x−4)(x+1)

Итого получаем уравнение: 8(x+1) + 18(x−4) = 11(x−4)(x+1)

3. Раскрываем скобки: Левая часть: 8x + 8 + 18x − 72 = 26x − 64 Права часть: 11[(x−4)(x+1)] = 11(x^2 − 3x − 4) = 11x^2 − 33x − 44

4. Переносим все в левую часть: 0 = 11x^2 − 33x − 44 − 26x + 64 = 11x^2 − 59x + 20

Получаем квадратное уравнение: 11x^2 − 59x + 20 = 0

5. Найдём дискриминант: D = 59^2 − 4·11·20 = 3481 − 880 = 2601, sqrt(D) = 51

Корни: x = [59 ± 51] / (2·11) = [59 ± 51] / 22

• x1 = (59 + 51) / 22 = 110 / 22 = 5
• x2 = (59 − 51) / 22 = 8 / 22 = 4/11

6. Проверка ограничений и подстановка:

• x = 5: 4/(5−4) + 9/(5+1) = 4/1 + 9/6 = 4 + 1.5 = 5.5 = 11/2. ОК.
• x = 4/11: 4/(4/11 − 4) + 9/(4/11 + 1) = 11/2 (проверка даёт верный результат). ОК.

Ответ: x = 5 или x = 4/11.