Sin2π/5+I(1-cos2π/5)

Задача: sin(2π/5) + i(1 − cos(2π/5)) Цель: разобраться и получить подробное решение. Вот подробное решение по шагам. 1) Обозначим θ = 2π/5. Тогда выражение принимает вид sin θ + i(1 − cos θ). 2) Применим тригонометрические формулы по половинкам: - 1 − cos θ = 2 sin²(θ/2) - sin θ = 2 sin(θ/2) cos(θ/2) Подставим: sin θ + i(1 − cos θ) = 2 sin(θ/2) cos(θ/2) + i · 2 sin²(θ/2) = 2 sin(θ/2) [cos(θ/2) + i sin(θ/2)]. 3) Заметим, что cos φ + i sin φ = e^{iφ}. Поэтому sin θ + i(1 − cos θ) = 2 sin(θ/2) e^{i(θ/2)}. 4) Подставим θ = 2π/5. Тогда θ/2 = π/5. Получаем: sin(2π/5) + i(1 − cos(2π/5)) = 2 sin(π/5) e^{iπ/5}. Это полярная форма: радиус r = 2 sin(π/5), аргумент φ = π/5. 5) Для конкретики можно записать в прямоугольной форме и в точных радикалах. - Пусть α = π/5 = 36°. Тогда: sin(α) = sin 36° = √(10 − 2√5)/4, cos(α) = cos 36° = (√5 + 1)/4. - Реальная часть: 2 sin(α) cos(α) = sin(2α) = sin(72°) = √(10 + 2√5)/4. - Мнимая часть: 2 sin²(α) = 1 − cos(2α) = 1 − cos(72°) = 1 − (√5 − 1)/4 = (5 − √5)/4. Итого в точном виде: sin(2π/5) + i(1 − cos(2π/5)) = √(10 + 2√5)/4 + i(5 − √5)/4 или объединённо как (√(10 + 2√5) + i(5 − √5)) / 4. 6) Примерное числовое значение (для проверки): - sin(2π/5) ≈ 0.95106 - 1 − cos(2π/5) ≈ 0.69098 И поэтому число ≈ 0.95106 + 0.69098 i. Итого: - Полярная форма: 2 sin(π/5) e^{iπ/5} (приблизительно 1.17557 cis 36°). - Прямоугольная форма: √(10 + 2√5)/4 + i(5 − √5)/4.