sin2π/5+I(1-cos2π/5)

Задача: sin(2π/5) + i(1 − cos(2π/5))

Цель: разобраться и получить подробное решение.

Вот подробное решение по шагам.

1. Обозначим θ = 2π/5. Тогда выражение принимает вид sin θ + i(1 − cos θ).

2. Применим тригонометрические формулы по половинкам:

• 1 − cos θ = 2 sin²(θ/2)
• sin θ = 2 sin(θ/2) cos(θ/2)

Подставим: sin θ + i(1 − cos θ) = 2 sin(θ/2) cos(θ/2) + i · 2 sin²(θ/2) = 2 sin(θ/2) [cos(θ/2) + i sin(θ/2)].

3. Заметим, что cos φ + i sin φ = e^{iφ}. Поэтому sin θ + i(1 − cos θ) = 2 sin(θ/2) e^{i(θ/2)}.

4. Подставим θ = 2π/5. Тогда θ/2 = π/5. Получаем: sin(2π/5) + i(1 − cos(2π/5)) = 2 sin(π/5) e^{iπ/5}.

Это полярная форма: радиус r = 2 sin(π/5), аргумент φ = π/5.

5. Для конкретики можно записать в прямоугольной форме и в точных радикалах.

• Пусть α = π/5 = 36°. Тогда: sin(α) = sin 36° = √(10 − 2√5)/4, cos(α) = cos 36° = (√5 + 1)/4.

• Реальная часть: 2 sin(α) cos(α) = sin(2α) = sin(72°) = √(10 + 2√5)/4.

• Мнимая часть: 2 sin²(α) = 1 − cos(2α) = 1 − cos(72°) = 1 − (√5 − 1)/4 = (5 − √5)/4.

Итого в точном виде: sin(2π/5) + i(1 − cos(2π/5)) = √(10 + 2√5)/4 + i(5 − √5)/4 или объединённо как (√(10 + 2√5) + i(5 − √5)) / 4.

6. Примерное числовое значение (для проверки):

• sin(2π/5) ≈ 0.95106
• 1 − cos(2π/5) ≈ 0.69098 И поэтому число ≈ 0.95106 + 0.69098 i.

Итого:

• Полярная форма: 2 sin(π/5) e^{iπ/5} (приблизительно 1.17557 cis 36°).
• Прямоугольная форма: √(10 + 2√5)/4 + i(5 − √5)/4.