Футбольный мяч состоит из 12 черных пятиугольников и белых шестиугольников. Сколько на нём шестиугольников?

Ответ: 20 шестиугольников. Пошаговое решение (пояснение для понимания): 1) В мече используются 12 черных пятиугольников (P = 12). В таком футбольном шаре на каждой вершине встречаются exactly три грани: одна пятиугольная и две шестиугольные. Поэтому на каждой вершине присутствует ровно одна пятиугольная грань. 2) В каждой пятиугольной грани есть 5 вершин, и каждую вершину «приписывают» одной пятиугольной грани. Значит общее число вершин V равно 5P = 5 × 12 = 60. 3) Так как на каждом вершине сходятся три грани (три ребра сходятся в вершине), получаем соотношение для числа ребер: 3V = 2E, то есть E = 3V/2 = 3×60/2 = 90. 4) Применяем формулу Эйлера для выпуклого многогранника: V − E + F = 2, откуда F = 2 + E − V = 2 + 90 − 60 = 32. Здесь F — общее число лиц (пятиугольников и шестиугольников). 5) Общее число лиц F состоит из 12 пятиугольников и неизвестного числа шестиугольников H: F = P + H. Значит 32 = 12 + H, отсюда H = 20. Ответ: на мече 20 шестиугольников.