Тело движется по окружности радиусом 2 м. Через некоторое время его перемещение по модулю ока-залось равным диаметру. Какой путь прошло тело?
Рассмотрим задачу пошагово.
Дано:
- радиус траектории R = 2 м
- перемещение по модулю (дистанция между началом и концом траектории) d = диаметр круга = 2R = 4 м
Связь между диагональным перемещением и центральным углом Для точки на окружности длина хорды (перемещение за прямую) равна c = 2R sin(φ/2), где φ — центральный угол, соответствующий этой хорде (угол между радиусами, проведёнными к начальной и конечной точкам).
Найдём φ Подставим данные: 4 = 2R sin(φ/2) = 2·2·sin(φ/2) = 4 sin(φ/2) sin(φ/2) = 1 Это даёт φ/2 = π/2 (модульная единица решения в диапазоне [0, π]), так что φ = π радиан.
Интерпретация: начальная и конечная точки лежат на противоположных концах диаметра, то есть угол между радиусами равен π.
- Путь, пройденный телом Путь вдоль окружности равен длине дуги с центральным углом φ: S = R φ = 2 · π = 2π м ≈ 6.28 м.
Ответ: тело прошло вдоль окружности путь длиной 2π метра (половина окружности). Примечание: если за тем же условием произошло ещё целое число дополнительных оборотов перед тем как достигнуть противоположной точки, то путь мог бы быть S = R(π + 2πk) = 2π(1 + 2k) метров, но минимально возможный путь — 2π м.
