2.1. В треугольнике АВС AC = 12CM angle A = 75 ^ 0 , angle C = 60 deg Найдите АВ и площадь.

Задача: в треугольнике ABC дано AC = 12 см, ∠A = 75°, ∠C = 60°. Найти AB и площадь треугольника.

Пошаговое решение

1. Найдём угол B

• ∠B = 180° − (∠A + ∠C) = 180° − (75° + 60°) = 45°.

2. Применим закон синусов

• Обозначим стороны так: a = BC противоположен углу A, b = CA противоположен углу B, c = AB противоположен углу C.
• Здесь b = AC = 12 см, ∠B = 45°. Тогда общий множитель по формулам: b / sin B = 12 / sin 45° = 12 / (√2/2) = 12√2.
• Это даёт:
  • AB = c = sin C × (b / sin B) = sin 60° × 12√2 = (√3/2) × 12√2 = 6√6 см.
  • BC = a = sin A × (b / sin B) = sin 75° × 12√2. (Опционально: sin75° = sin(45°+30°) = (√6 + √2)/4, тогда a = ((√6+√2)/4) × 12√2 = 6√3 + 6 см.)

3. Площадь S треугольника

• Возьмём две стороны, прилежащие к углу A: AB и AC, и угол между ними ∠A = 75°.
• S = 1/2 × AB × AC × sin ∠A
• AB = 6√6, AC = 12, sin ∠A = sin 75° = (√6 + √2)/4.
• S = 1/2 × (6√6) × 12 × (√6 + √2)/4 = 36√6 × (√6 + √2)/4 = 9√6(√6 + √2)
• Применим: √6 × √6 = 6, √6 × √2 = √12 = 2√3
  • S = 9(6 + 2√3) = 54 + 18√3 см².

Итоговые значения

• AB = 6√6 см ≈ 14.70 см
• Площадь S = 54 + 18√3 см² ≈ 85.18 см²

Дополнительно (проверка): BC ≈ 6√3 + 6 ≈ 16.39 см. Всё согласуется с данными углами.