Турист прошёл 2 км на юг, а потом ещё 4 км - на юго-вос ток. Чему равны модуль перемещения туриста и угол между вектором перемещения и направлением на юг?

Ниже подробное решение.

1. Зафиксируем систему координат

• Направление на восток = +x, на север = +y.
• Юг — направление вниз по оси y (то есть y отрицательно).

2. Векторы перемещения

• Первый участок: 2 км к югу. v1 = (0, -2).
• Второй участок: 4 км к юго-востоку (45° между югом и востоком). v2 имеет компоненты:
  • x: 4 cos 45° = 4/√2 = 2√2
  • y: -4 sin 45° = -4/√2 = -2√2 Значит v2 = (2√2, -2√2).

3. Вектор перемещения за весь путь

• R = v1 + v2 = (0 + 2√2, -2 - 2√2) = (2√2, -(2 + 2√2)).

4. Модуль вектора перемещения

• |R| = sqrt[(2√2)^2 + (2 + 2√2)^2] = sqrt[8 + (2 + 2√2)^2]. Раскрывая квадрат второго члена: (2 + 2√2)^2 = 4(1 + √2)^2 = 4(3 + 2√2) = 12 + 8√2. Тогда |R|^2 = 8 + 12 + 8√2 = 20 + 8√2. Следовательно |R| = sqrt(20 + 8√2) ≈ 5.60 км.

5. Угол между вектором перемещения и направлением на юг

• Пусть S — единичный вектор в направлении юга: S = (0, -1).
• Косинус угла θ между R и S: cos θ = (R · S) / (|R||S|). R · S = Rx·0 + Ry·(-1) = -Ry = 2 + 2√2. |S| = 1, поэтому cos θ = (2 + 2√2) / sqrt(20 + 8√2). Это даёт θ ≈ arccos(0.8629) ≈ 30.4°.

Альтернативно можно найти tan θ как отношение горизонтальной составляющей к вертикальной:

• tan θ = |Rx| / |Ry| = (2√2) / (2 + 2√2) = (√2)/(1+√2) = 2 - √2 ≈ 0.5858.
• θ = arctan(2 - √2) ≈ 30.4°.

6. Ответ

• Модуль перемещения: ≈ 5.60 км.
• Угол между вектором перемещения и направлением на юг: ≈ 30.4° (восток от юга).

Кратко: итоговый вектор направлен примерно на юго-восток, ближе к югу, отклонён примерно на 30° к востоку.