Три числа, третье из которых равно 18, образуют геометрическую прогрессию. Если вместо третьего взять 10, то три числа будут образовывать арифметическую прогрессию. найдите…

Решение задачи

Обозначим три исходных числа как a, b, c. Нам дано:

• третье число c = 18 и эти три числа образуют геометрическую прогрессию (GP).
• если вместо третьего взять 10, то числа образуют арифметическую прогрессию (AP).

1. Условия GP В GP для последовательности a, b, c выполняется b^2 = a c. Подставим c = 18: b^2 = a · 18 ⇒ a = b^2 / 18.

2. Условия AP Члены a, b и 10 образуют AP, значит средний член равен середине между соседями: b = (a + 10) / 2 или 2b = a + 10.

3. Подстановка и решение Подставим a из пункта 1 в уравнение AP: 2b = (b^2 / 18) + 10.

Умножим на 18: 36b = b^2 + 180.

Переносим все в одну сторону: b^2 − 36b + 180 = 0.

Решим квадратное уравнение. Дискриминант: D = 36^2 − 4·1·180 = 1296 − 720 = 576, sqrt(D) = 24.

Корни: b = (36 ± 24) / 2 ⇒ b = 6 или b = 30.

4. Найдём соответствующие a

• Если b = 6, то a = b^2 / 18 = 36 / 18 = 2.
• Если b = 30, то a = b^2 / 18 = 900 / 18 = 50.

5. Проверка Для обеих пар получаем c = 18, и они действительно образуют GP:

• 2, 6, 18: отношение r = 3.
• 50, 30, 18: отношение r = 3/5.

Также при замене третьего на 10 обе тройки образуют AP:

• 2, 6, 10: разности 4 и 4.
• 50, 30, 10: разности −20 и −20.

Ответ: исходные числа могут быть либо 2, 6, 18, либо 50, 30, 18.