Ниже привожу подробное решение с пояснениями.
Дано:
- Уступ высотой H = 8,8 м
- Диаметр выходного отверстия брандспойта d0 = 125 мм
- Начальная скорость струи v0 = 20 м/с
- Начальный угол к горизонту α = 30°
- Ускорение свободного падения g ≈ 9,81 м/с²
Цель: 4.1 определить диаметр струи, которая попадает в очаг возгорания, если в полете струя не распадается. 4.2 определить максимальный диаметр струи, когда струя не распадается.
- Проверка достижимости горизонта на высоту H
Траектория/projects струи без сопротивления воздуха описывается уравнением
y(x) = x tan α - (g x^2) / (2 v0^2 cos^2 α).
Либо можно воспользоваться обычной формулой для высоты части траекторий: максимальная высота над точкой запуска
y_max = (v0^2 sin^2 α) / (2 g).
Считаем:
- sin α = sin 30° = 1/2, sin^2 α = 1/4
- v0^2 sin^2 α = 400 * (1/4) = 100
- y_max = 100 / (2 g) = 100 / (19,62) ≈ 5,10 м
Поскольку требуемая высота уступа H = 8,8 м больше y_max ≈ 5,1 м, струя не достигнет очага. Следовательно 4.1: диаметр струи, которая попадает в очаг, равен 0 мм (попадание отсутствует).
- Формула для попадания при достижении высоты (маломощный случай)
Если бы очаг находился на высоте H ≤ y_max, то скорость струи у попадания в очаг по закону сохранения энергии (без сопротивления воздуха) была бы
v_hit^2 = v0^2 - 2 g H.
Также можно записать через горизонтальную составляющую скорости: vx = v0 cos α, и vy изменяется, но в любом случае v_hit = sqrt(vx^2 + vy^2) и v_hit^2 = v0^2 - 2 g H.
Диаметр струи связаны с расходом Q движением струи по закону сохранения объема:
Q = A v = (π d^2 / 4) v, необходимо, чтобы Q оставался постоянным вдоль траектории (при отсутствии распада струи).
Отсюда при попадании в очаг диаметры связаны как
d_hit^2 · v_hit = d0^2 · v0,
то есть
d_hit = d0 · sqrt(v0 / v_hit).
Если H ≤ y_max, то можно посчитать d_hit по формуле выше, подставив v_hit = sqrt(v0^2 - 2 g H).
- Применение к данному случаю
4.1. Как уже установлено, H > y_max, следовательно реального попадания струи в очаг нет. Ответ: 0 мм.
4.2. Так как условие попадания в очаг не выполняется (для данного H струя не достигает очага), вопрос о максимальном диаметре струи, при котором она не распадается в полете и дотягивает до очага, является некорректным: нет физически достижимого попадания, значит и соответствующий диаметр функции не имеет смысла. По сути, ответ также 0 мм (модельно: невозможность попадания — невозможность задать нераспадающийся поток к очагу).
Примечание (для ситуаций, когда H ≤ y_max пригодно вычислять d_hit):
- Если, например, H = 5,0 м, то
v_hit^2 = v0^2 - 2 g H = 400 - 2·9,81·5 ≈ 301,9, значит v_hit ≈ 17,38 м/с.
d_hit = d0 · sqrt(v0 / v_hit) ≈ 125 мм · sqrt(20 / 17,38) ≈ 125 мм · 1,07 ≈ 134 мм.
- Но для H = 8,8 м такого не получится (Δ для решения траекторного уравнения отрицателен), следовательно попадания нет.
Итого:
- 4.1: 0 мм (струя не достигает очага);
- 4.2: вопрос не применим в данной конфигурации (поскольку попадания нет). Теоретически для достижимого H можно было бы вычислять d_hit по формуле d_hit = d0 · sqrt(v0 / v_hit) с v_hit = sqrt(v0^2 - 2 g H).
