координата тела изменяется с течением времени согласно формуле x=20-5t + 6r²

Классная задача, но здесь есть один неясный момент: что именно означает r в формуле x = 20 - 5t + 6r^2? t явно — время, а r может быть константой или функцией времени. Ниже разберём основные случаи и приведём пошаговые решения.

Суть метода

• Если r не зависит от времени (р — константа): x(t) просто линейно зависит от t по части -5t.
• Если r зависит от времени: r = r(t) и надо применять цепное правило. Тогда x(t) = 20 - 5t + 6[r(t)]^2, и скорость v = dx/dt, ускорение a = dv/dt.

Разбор по случаям

1. r не зависит от времени (р — константа)

• Формула: x(t) = 20 - 5t + 6r^2, где r постоянная.
• Скорость: v = dx/dt = -5 (поскольку только -5t даёт изменение во времени).
• Ускорение: a = dv/dt = 0.
• Пояснение: производная от константы равна нулю, поэтому вклад 6r^2 не изменяется во времени.

2. r зависит от времени (r = r(t))

• Формула: x(t) = 20 - 5t + 6 [r(t)]^2.
• Производная по времени дает скорость: v(t) = dx/dt = -5 + 12 r(t) · r'(t), где r'(t) = dr/dt. Обоснование: производная от r^2 равна 2 r · r', умножаем на 6, получаем 12 r r'.
• Ускорение: a(t) = dv/dt = 12 [r'(t)]^2 + 12 r(t) · r''(t), где r''(t) = d^2r/dt^2. Обоснование: производная от 12 r r' даёт 12 (r' r' + r r'').

3. Примеры конкретных вариантов r(t)

• Пример A: r(t) = t

  • Тогда x(t) = 20 - 5t + 6 t^2.
  • v(t) = -5 + 12 t.
  • a(t) = 12. Объяснение: r' = 1, r'' = 0, подставляем в формулы.

• Пример B: r(t) = sin t

  • r'(t) = cos t, r''(t) = - sin t.
  • x(t) = 20 - 5t + 6 sin^2 t (или 20 - 5t + 3 (1 - cos 2t), но оставим в виде 6 sin^2 t).
  • v(t) = -5 + 12 sin t cos t = -5 + 6 sin 2t.
  • a(t) = 12 [cos t]^2 + 12 sin t · (- sin t) = 12 (cos^2 t - sin^2 t) = 12 cos 2t.

Как использовать это на практике

• Если вам дали конкретную зависимость r от времени, подставляйте в формулы v(t) и a(t): v(t) = -5 + 12 r(t) r'(t) a(t) = 12 [r'(t)]^2 + 12 r(t) r''(t)
• Если же сказано только, что t — время, а r — константа, используйте случай 1 и получите v = -5, a = 0.

Итого

• Без уточнения про r: два основных варианта — r константа или r как функция времени.
• При r константе: скорость — постоянная -5, ускорение — 0.
• При r = r(t): скорости и ускорения даются формулами выше; можно подставлять конкретную r(t) и получить численные значения.

Уточните, пожалуйста:

• Что означает r в вашей задаче? Является ли он константой, функцией времени r(t) или чем-то ещё?
• Если есть конкретное выражение для r(t) (например, r(t) = t/2 или r(t) = sin t), дадим точные численные v(t) и a(t) и, по желанию, графики.