реши уравнение 4 (1 - cos x) = 8 sin(x/2)cos^2(x/2)

Решим уравнение: 4(1 − cos x) = 8 sin(x/2) cos^2(x/2)

Используем тождества: 1 − cos x = 2 sin^2(x/2)

Тогда левая часть = 8 sin^2(x/2), правая = 8 sin(x/2) cos^2(x/2). После деления на 8 получаем sin^2(u) = sin(u) cos^2(u), где u = x/2.

Перепишем: sin u [ sin u − cos^2 u ] = 0

1. sin u = 0 → u = nπ → x = 2nπ, n ∈ Z.

2. sin u = cos^2 u = 1 − sin^2 u. Обозначим s = sin u: s = 1 − s^2 → s^2 + s − 1 = 0 → s = (−1 ± √5)/2. Единственное допустимое значение: s = (√5 − 1)/2.

Тогда u = arcsin((√5 − 1)/2) + 2kπ или u = π − arcsin((√5 − 1)/2) + 2kπ, k ∈ Z.

Следовательно, x = 2u даёт:

• x = 2 arcsin((√5 − 1)/2) + 4kπ,
• x = 2π − 2 arcsin((√5 − 1)/2) + 4kπ,

а также

• x = 2nπ (из первого случая).

Приближённые значения arcsin((√5 − 1)/2) ≈ 0.666239, поэтому

• x ≈ 1.33248 + 4kπ,
• x ≈ 4.95071 + 4kπ,
• x ≈ 2nπ, n ∈ Z.