представьте в виде бесконечности десятичной периодической дроби число: а) ⅓; б) ⅔; в) ⅚; г) 7⁷/⁹; д) 1 ⁸/¹¹; е) 2 ⁴/¹⁵.

Ниже решения по каждому пункту с пошаговым объяснением.

а) 1/3

• Долговая запись: делим 1 на 3.
• 3 не входит в 1, пишем 0 и добавляем нуль: 10/3 = 3 с остатком 1.
• Остаток повторяется, поэтому цифра 3 повторяется бесконечно.
• Результат: 0.\overline{3} (0.3333...).

б) 2/3

• Долговая запись: делим 2 на 3.
• 3 не входит в 2, даём 0 и добавляем нуль: 20/3 = 6 с остатком 2.
• Остаток повторяется, поэтому цифра 6 повторяется бесконечно.
• Результат: 0.\overline{6} (0.6666...).

в) 5/6

• Долговая запись: делим 5 на 6.
• 6 не входит в 5, даём 0, затем 50/6 = 8 с остатком 2.
• Далее 20/6 = 3 с остатком 2; остаток снова 2, значит цифы после запятой: 8, затем бесконечно повторяется 3.
• Результат: 0.8\overline{3} (0.83333...); период длиной 1.

г) 7^7 / 9

• 7^7 = 823543, поэтому делим 823543 на 9.
• Деление: 9|823543 → частное 91504, остаток 7.
• После запятой: 70/9 = 7 с остатком 7, далее остаток 7 повторяется → повторяется цифра 7.
• Результат: 91504.\overline{7} (91504.7777...); период длиной 1.

д) 1 8/11

• 1 + 8/11; ищем десятичное представление 8/11.
• 8/11 = 0.72-72-72... (повторяется блок 72).
• Следовательно: 1 + 0.\overline{72} = 1.727272... = 1.\overline{72}.

е) 2 4/15

• 2 + 4/15; найдём 4/15.
• 4/15 = 0.26666... (последовательность 6 повторяется после первой цифры 2).
• Следовательно: 2 + 0.26666... = 2.26666... = 2.2\overline{6}.

Итоговые записи в виде бесконечных десятичных периодических дробей:

• а) 0.\overline{3}
• б) 0.\overline{6}
• в) 0.8\overline{3}
• г) 91504.\overline{7}
• д) 1.\overline{72}
• е) 2.2\overline{6}