Построте графики функций: а) у=х² б) у=-х² в) у=3х² г) у=-3х²-5 д) у=х²-2х

Конечно, давай более подробно рассмотрим каждую из функций и их графики.

а) \( y = x^2 \)

Это классическая парабола, которая открыта вверх.

• Ветви: Парабола имеет одну ветвь, которая направлена вверх.
• Вершина: Вершина параболы находится в точке (0, 0) — это её минимум.
• Симметрия: График симметричен относительно оси Y.
• Интервалы: Для \( x < 0 \) значения \( y \) увеличиваются, для \( x > 0 \) также \( y \) увеличивается.

б) \( y = -x^2 \)

Это также парабола, но она открыта вниз.

• Ветви: Парабола имеет одну ветвь, которая направлена вниз.
• Вершина: Вершина находится в точке (0, 0) — это её максимум.
• Симметрия: График симметричен относительно оси Y.
• Интервалы: Для \( x < 0 \) значения \( y \) уменьшаются, для \( x > 0 \) также \( y \) уменьшается.

в) \( y = 3x^2 \)

Эта функция также представляет собой параболу, открывающуюся вверх, но с вертикальным растяжением.

• Ветви: Парабола открыта вверх, но она шире, чем \( y = x^2 \).
• Вершина: Вершина находится в точке (0, 0).
• Симметрия: Симметрия относительно оси Y.
• Вертикальное растяжение: При \( x = 1 \), \( y = 3 \); при \( x = -1 \), \( y = 3 \). Это означает, что значения функции растут быстрее, чем в случае \( y = x^2 \).

г) \( y = -3x^2 - 5 \)

Эта функция представляет собой параболу, открывающуюся вниз с вертикальным сдвигом.

• Ветви: Парабола открыта вниз.
• Вершина: Вершина находится в точке (0, -5) — это её максимум.
• Симметрия: График симметричен относительно оси Y.
• Вертикальное растяжение: Вертикально сжатая парабола, и значение -5 сдвигает график вниз.

д) \( y = x^2 - 2x \)

Эта функция также представляет собой параболу, которая открыта вверх, но с линейным сдвигом.

• Вершина: Для нахождения вершины используем формулу \( x = -\frac{b}{2a} \). Здесь \( a=1 \), \( b=-2 \). \[ x = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1 \] Подставим \( x = 1 \) в уравнение: \[ y = (1)^2 - 2(1) = 1 - 2 = -1 \] Вершина находится в точке (1, -1).
• Симметрия: График симметричен относительно прямой, проходящей через вершину.
• Корни: Найдем корни уравнения \( x^2 - 2x = 0 \): \[ x(x - 2) = 0 \implies x = 0 \text{ или } x = 2 \]
• Интервалы: При \( x < 1 \) \( y \) уменьшается; при \( x > 1 \) \( y \) увеличивается.

Графики

Для построения графиков можно использовать графические калькуляторы или специальные программы. Графики выглядят следующим образом:

1. \( y = x^2 \) — стандартная парабола, открытая вверх.
2. \( y = -x^2 \) — парабола, открытая вниз.
3. \( y = 3x^2 \) — более узкая парабола, открытая вверх.
4. \( y = -3x^2 - 5 \) — парабола, открытая вниз и сдвинутая вниз на 5 единиц.
5. \( y = x^2 - 2x \) — парабола, открытая вверх, с вершиной в (1, -1) и корнями в (0, 0) и (2, 0).

Надеюсь, это поможет вам лучше понять каждую из функций! Если нужно больше деталей или примеров, дайте знать.