корень 0,61× корень81

Чтобы вычислить \(\sqrt{72} \times \sqrt{2}\), можно воспользоваться свойством корней, которое говорит, что \(\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b}\).

1. Объединим под корнем: \[ \sqrt{72} \times \sqrt{2} = \sqrt{72 \times 2} = \sqrt{144} \]

2. Теперь найдем корень из 144: \[ \sqrt{144} = 12 \]

Таким образом, \(\sqrt{72} \times \sqrt{2} = 12\).

Ответ: 12.

Для вычисления \((\sqrt{-7})^6\) будем рассматривать комплексные числа.

1. \(\sqrt{-7}\) можно записать как \(i\sqrt{7}\), где \(i\) — мнимая единица ( \(i^2 = -1\) ).

2. Теперь подставим это выражение: \[ (\sqrt{-7})^6 = (i\sqrt{7})^6 \]

3. Разделим это выражение на две части: \[ (i\sqrt{7})^6 = i^6 \cdot (\sqrt{7})^6 \]

4. Вычислим \(i^6\):

   • \(i^1 = i\)
   • \(i^2 = -1\)
   • \(i^3 = -i\)
   • \(i^4 = 1\)
   • \(i^5 = i\)
   • \(i^6 = -1\)

5. Вычисляем \((\sqrt{7})^6\): \[ (\sqrt{7})^6 = (7^{1/2})^6 = 7^{6/2} = 7^3 = 343 \]

6. Теперь складываем всё вместе: \[ (i\sqrt{7})^6 = -1 \cdot 343 = -343 \]

Таким образом, \((\sqrt{-7})^6 = -343\).

Ответ: \(-343\).

Чтобы сравнить \(8\) и \(\sqrt{62}\), нужно вычислить значение \(\sqrt{62}\).

1. Сначала найдем приближенное значение \(\sqrt{62}\): \[ \sqrt{62} \approx 7.874 \]

2. Теперь сравним \(8\) и \(\sqrt{62}\):

   • \(8 > 7.874\)

Таким образом, \(8 > \sqrt{62}\).

Ответ: \(8\) больше, чем \(\sqrt{62}\).

Чтобы сравнить \(5\sqrt{0.2}\) и \(2\sqrt{1.3}\), сначала вычислим каждое из выражений.

1. Вычисление \(5\sqrt{0.2}\): \[ 0.2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}, \text{ значит } \sqrt{0.2} = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}. \] \[ 5\sqrt{0.2} = 5 \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}. \]

   Численно, \(\sqrt{5} \approx 2.236\).

2. Вычисление \(2\sqrt{1.3}\): \[ \sqrt{1.3} \approx 1.140. \] \[ 2\sqrt{1.3} \approx 2 \cdot 1.140 = 2.280. \]

3. Сравнение результатов:

   • \(5\sqrt{0.2} \approx 2.236\)
   • \(2\sqrt{1.3} \approx 2.280\)

Теперь сравним: \[ 2.236 < 2.280. \]

Таким образом, \(5\sqrt{0.2} < 2\sqrt{1.3}\).

Ответ: \(5\sqrt{0.2} < 2\sqrt{1.3}\).

Чтобы вынести множитель \(13\sqrt{2}\) под знак корня, нужно использовать правило: \(\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\).

Давайте упростим \(13\sqrt{2}\):

1. Запишем \(13\) как \(\sqrt{169}\), т.е. \(13 = \sqrt{169}\).
2. Тогда можно записать: \[ 13\sqrt{2} = \sqrt{169}\sqrt{2} = \sqrt{169 \cdot 2} = \sqrt{338}. \]

Таким образом, \(13\sqrt{2}\) можно представить как \(\sqrt{338}\).

Ответ: \(13\sqrt{2} = \sqrt{338}\).

Чтобы вынести множитель \(-4\sqrt{7}\) под знак корня, воспользуемся тем же правилом, что и раньше: \(\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\).

1. Мы можем записать \(-4\) как \(-1 \cdot 4\).

2. Далее представим \(4\) как \(\sqrt{16}\), тогда у нас будет: \[ -4\sqrt{7} = -1 \cdot \sqrt{16} \cdot \sqrt{7}. \]

3. Применяя правило вынесения под корень: \[ -4\sqrt{7} = -\sqrt{16 \cdot 7} = -\sqrt{112}. \]

Таким образом, мы можем представить \(-4\sqrt{7}\) как \(-\sqrt{112}\).

Ответ: \(-4\sqrt{7} = -\sqrt{112}\).

Чтобы упростить выражение \((\sqrt{5} - 3)^2\), применим формулу разности квадратов: \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).

1. В нашем случае \(a = \sqrt{5}\) и \(b = 3\).

Теперь подставим значения в формулу:

\[ (\sqrt{5} - 3)^2 = (\sqrt{5})^2 - 2 \cdot \sqrt{5} \cdot 3 + 3^2. \]

2. Вычисляем каждую часть:

• \((\sqrt{5})^2 = 5\)
• \(2 \cdot \sqrt{5} \cdot 3 = 6\sqrt{5}\)
• \(3^2 = 9\)

3. Подставим результаты обратно: \[ (\sqrt{5} - 3)^2 = 5 - 6\sqrt{5} + 9. \]

4. Объединим постоянные члены: \[ 5 + 9 = 14. \]

Таким образом, итоговое выражение: \[ (\sqrt{5} - 3)^2 = 14 - 6\sqrt{5}. \]

Ответ: \(14 - 6\sqrt{5}\).

Чтобы упростить выражение \(\frac{\sqrt{15} + 3\sqrt{5}}{\sqrt{5}} - \sqrt{3}\), выполним деление и потом вычтем.

1. Начнем с деления:

\[ \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{5}} + \frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \sqrt{\frac{15}{5}} + 3 = \sqrt{3} + 3. \]

В результате мы получили:

\[ \sqrt{3} + 3. \]

2. Теперь подставим это выражение обратно в исходное:

\[ \sqrt{3} + 3 - \sqrt{3}. \]

3. Упростим:

\[ \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3 = 3. \]

Таким образом, итоговое выражение:

Ответ: \(3\).

Чтобы вынести множитель из под знака корня в выражении \(\sqrt{80a^4b^6}\), нужно разложить каждую часть под корнем на множители, которые можно вынести.

1. Разложим \(80\): \[ 80 = 16 \times 5 = 4^2 \times 5. \]

2. Теперь раскладываем каждую переменную:

   • \(a^4\) можно представить как \((a^2)^2\),
   • \(b^6\) можно представить как \((b^3)^2\).

Теперь соберем всё вместе: \[ \sqrt{80a^4b^6} = \sqrt{16 \cdot 5 \cdot (a^2)^2 \cdot (b^3)^2}. \]

3. Применяя правило, что \(\sqrt{xy} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{y}\), мы получаем: \[ \sqrt{80a^4b^6} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{(a^2)^2} \cdot \sqrt{(b^3)^2}. \]

4. Теперь найдём значения под корнем:

   • \(\sqrt{16} = 4\),
   • \(\sqrt{(a^2)^2} = a^2\),
   • \(\sqrt{(b^3)^2} = b^3\).

Теперь выражение представляется следующим образом: \[ \sqrt{80a^4b^6} = 4 \cdot a^2 \cdot b^3 \cdot \sqrt{5}. \]

Ответ: \(4a^2b^3\sqrt{5}\).

Чтобы упростить выражение \(3\sqrt{1 \frac{2}{3}} - \sqrt{80} - 4\sqrt{1 \frac{1}{4}}\), начнем с преобразования дробных корней.

1. Преобразуем смешанные дроби в неправильные:
   • \(1 \frac{2}{3} = \frac{5}{3}\)
   • \(1 \frac{1}{4} = \frac{5}{4}\)

Тогда выражение станет: \[ 3\sqrt{\frac{5}{3}} - \sqrt{80} - 4\sqrt{\frac{5}{4}}. \]

2. Посчитаем корни:

   • Для \(\sqrt{80}\): \[ \sqrt{80} = \sqrt{16 \times 5} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{5} = 4\sqrt{5}. \]

   • Для \(\sqrt{\frac{5}{4}}\): \[ \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}. \] Тогда, \[ 4\sqrt{\frac{5}{4}} = 4 \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} = 2\sqrt{5}. \]

3. Теперь подставим назад: \[ 3\sqrt{\frac{5}{3}} - 4\sqrt{5} - 2\sqrt{5}. \] Затем объединим последние два слагаемых: \[ 3\sqrt{\frac{5}{3}} - 6\sqrt{5}. \]

4. Теперь можно одномоментно упростить: Мы можем просто оставить выражение в этой форме, так как корни с разными подкоренными выражениями не могут быть объединены.

Ответ: \(3\sqrt{\frac{5}{3}} - 6\sqrt{5}\).