Отрезок СD - высота прямоугольного треугольника ABC (угол C = 90°). На гипотенузе АВ отметили точку так, что BF = BC. Докажите, что отрезок CF - биссек- триса треугольника ACD.
Задача: В прямоугольном треугольнике ABC (C = 90°) высота CD опущена на гипотенузу AB, D лежит на AB. На AB взята точка F так, что BF = BC. Докажите, что CF является биссекторой угла ACD треугольника ACD.
Пояснение и решение по шагам:
- Расположение точек
- BD равно BC^2/AB (это стандартное свойство проекции на гипотенузу в прямоугольном треугольнике).
- BF = BC. Так как BD = BC^2/AB < BC = BF (ABC — не равнобедренный случай в общем виде, и AB > BC), то F лежит дальше D по гипотенузе к A, то есть на отрезке AD: A — F — D — B. Таким образом, F принадлежит стороне AD треугольника ACD.
Критерий биссектора В треугольнике ACD точка F на стороне AD является точкой касания биссектора из вершины C, если выполняется равенство AF/FD = AC/CD (теорема биссектора).
Выразим AF и FD через данные AB, BC, AC
- AF = AB − BF = AB − BC.
- DF = BF − BD = BC − BC^2/AB = BC(AB − BC)/AB = (BC/AB) · AF. Отсюда AF/FD = AF / [(BC/AB) · AF] = AB/BC.
Выразим AC/CD CD — высота на AB, поэтому CD = (AC · BC) / AB. Следовательно, AC/CD = AC / [(AC · BC)/AB] = AB/BC.
Сравнение Из пунктов 3 и 4 получаем AF/FD = AB/BC и AC/CD = AB/BC, а значит AF/FD = AC/CD.
По теореме биссектора CF является биссектором угла ACD треугольника ACD.
Ответ: CF действительно является биссекторой угла ACD треугольника ACD.
