4х2-12ху+к2у2=к2 решить

Задача: 4x^2 - 12xy + k^2 y^2 = k^2 решить 1) Приведём к стандартной форме по переменной x. 4x^2 - 12xy + k^2 y^2 - k^2 = 0 Это квадратное уравнение относительно x: ax^2 + bx + c = 0, где a = 4, b = -12y, c = k^2(y^2 - 1). 2) Найдём дискриминант Δ. Δ = b^2 - 4ac = (-12y)^2 - 4·4·[k^2(y^2 - 1)] = 144y^2 - 16k^2y^2 + 16k^2 = 16[(9 - k^2) y^2 + k^2]. 3) Найдём корни по формуле x = [-b ± sqrt(Δ)]/(2a). x = [12y ± sqrt(Δ)] / 8 sqrt(Δ) = sqrt(16[(9 - k^2) y^2 + k^2]) = 4 sqrt((9 - k^2) y^2 + k^2). Итак, x = [12y ± 4 sqrt((9 - k^2) y^2 + k^2)] / 8 = (3y)/2 ± (1/2) sqrt((9 - k^2) y^2 + k^2). Упрощённо можно записать как: x = (3y ± sqrt(k^2 + (9 - k^2) y^2)) / 2. 4) Условие существования реальных решений. Дискриминант должен быть неотрицательен: (9 - k^2) y^2 + k^2 ≥ 0. - Если k^2 ≤ 9, это верно для любого действительного y, поэтому всегда есть два решения (или одно, если корень нулевой). - Если k^2 > 9, требование даёт ограничение на y: |y| ≤ sqrt( k^2 / (k^2 - 9) ). 5) Примеры и примечания. - Для y = 0: 4x^2 = k^2 → x = ± k/2. - Пример: возьмём k = 3, y = 1. Δ = 16[(9 - 9)·1^2 + 9] = 16·9 = 144, sqrt(Δ) = 12. x = (12·1 ± 12)/8 = {24/8, 0/8} = {3, 0}. Проверка: 4x^2 - 12x + 9 - 9 = 0 → 4x^2 - 12x = 0 → x = 0 or x = 3. Ответ: решения по x даются формулой x = (3y ± sqrt(k^2 + (9 - k^2) y^2)) / 2, при условии, что под корнем неотрицательно: k^2 + (9 - k^2) y^2 ≥ 0 (то есть (9 - k^2) y^2 + k^2 ≥ 0).