Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK  =  7, CK  =  12.

Задача: в параллелограмме ABCD биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке K. Известно BK = 7, CK = 12. Найдите периметр. Решение (пошагово): 1) Введём координаты. Пусть A = (0,0), AB вдоль оси x так, что B = (b, 0) (b > 0). Вектор AD можно записать как D = (p, q). Тогда C = B + AD = (b + p, q). 2) Длина стороны BC равна длине AD: |BC| = |AD|. Так как BK = 7 и CK = 12, то BC = BK + KC = 19. Следовательно, |AD| = 19, значит p^2 + q^2 = 361. 3) Точка K лежит на BC и разбивает BC пропорцией BK/BC = 7/19. Тогда K = B + (7/19)(C − B) = (b, 0) + (7/19)(p, q) = (b + 7p/19, 7q/19). Вектор AK = K − A = (b + 7p/19, 7q/19). 4) Угол DAB образован сторонами AB = (b, 0) и AD = (p, q). Так как AK — биссектриса угла DAB, то угол между AB и AK равен углу между AK и AD. Это эквивалентно равенству косинусов углов: (AB · AK)/|AB| = (AD · AK)/|AD|. Вычислим необходимые величины: - AB · AK = (b,0) · (b + 7p/19, 7q/19) = b^2 + 7bp/19; |AB| = b. Следовательно, (AB · AK)/|AB| = b + 7p/19. - AD · AK = (p,q) · (b + 7p/19, 7q/19) = bp + 7(p^2 + q^2)/19 = bp + 7·361/19 = bp + 133; |AD| = 19. Следовательно, (AD · AK)/|AD| = (bp + 133)/19. Приравниваем: b + 7p/19 = (bp + 133)/19 19b + 7p = bp + 133. 5) Решим относительно b: bp − 19b = 133 − 7p b(p − 19) = 7(p − 19). Так как p ≠ 19 (иначе AD и AB коллинеарны и параллелограмм не бывает), получаем b = 7. 6) Значит AB = b = 7, а BC = AD = 19. Периметр параллелограмма: P = 2(AB + BC) = 2(7 + 19) = 52. Ответ: 52.