Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK = 7, CK = 12.

Задача: в параллелограмме ABCD биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке K. Известно BK = 7, CK = 12. Найдите периметр.

Решение (пошагово):

1. Введём координаты. Пусть A = (0,0), AB вдоль оси x так, что B = (b, 0) (b > 0). Вектор AD можно записать как D = (p, q). Тогда C = B + AD = (b + p, q).

2. Длина стороны BC равна длине AD: |BC| = |AD|. Так как BK = 7 и CK = 12, то BC = BK + KC = 19. Следовательно, |AD| = 19, значит p^2 + q^2 = 361.

3. Точка K лежит на BC и разбивает BC пропорцией BK/BC = 7/19. Тогда K = B + (7/19)(C − B) = (b, 0) + (7/19)(p, q) = (b + 7p/19, 7q/19).

   Вектор AK = K − A = (b + 7p/19, 7q/19).

4. Угол DAB образован сторонами AB = (b, 0) и AD = (p, q). Так как AK — биссектриса угла DAB, то угол между AB и AK равен углу между AK и AD. Это эквивалентно равенству косинусов углов: (AB · AK)/|AB| = (AD · AK)/|AD|.

   Вычислим необходимые величины:

   • AB · AK = (b,0) · (b + 7p/19, 7q/19) = b^2 + 7bp/19; |AB| = b. Следовательно, (AB · AK)/|AB| = b + 7p/19.
   • AD · AK = (p,q) · (b + 7p/19, 7q/19) = bp + 7(p^2 + q^2)/19 = bp + 7·361/19 = bp + 133; |AD| = 19. Следовательно, (AD · AK)/|AD| = (bp + 133)/19.

   Приравниваем: b + 7p/19 = (bp + 133)/19 19b + 7p = bp + 133.

5. Решим относительно b: bp − 19b = 133 − 7p b(p − 19) = 7(p − 19).

   Так как p ≠ 19 (иначе AD и AB коллинеарны и параллелограмм не бывает), получаем b = 7.

6. Значит AB = b = 7, а BC = AD = 19. Периметр параллелограмма: P = 2(AB + BC) = 2(7 + 19) = 52.

Ответ: 52.