x²=-1

Разбор задачи: x^2 = -1

Так как цель — понять, разберём два варианта: над действительными числами и над комплексными.

1. Над действительными числами

• Для любого вещественного числа a верно a^2 ≥ 0.
• Значение -1 отрицательно, поэтому невозможно, чтобы квадрат какого-либоReal числа дал -1.
• Следовательно, в множествае действительных чисел решений нет.

2. Над комплексными числами

• Вводим мнимую единицу i, определяемую так, что i^2 = -1.
• Тогда уравнение x^2 = -1 можно записать как x^2 = i^2, что даёт корни x = ±i.
• Формально через факторизацию: x^2 + 1 = 0; (x - i)(x + i) = 0, значит корни x = i и x = -i.

Проверка

• i^2 = -1, (−i)^2 = -1, оба корня верны.

Ответ

• В действительных числах решений нет.
• В комплексных числах решения: x = i и x = -i.