Решение
Обозначим стороны прямоугольного треугольника как:
- катеты: a и b,
- гипотенуза: c = sqrt(a^2 + b^2).
Дано:
- высота, опущенная на гипотенузу: h = 60. В прямоугольном треугольнике h = (ab)/c, значит ab = 60c.
- окружность радиуса R = 195 касается гипотенузы и продолжений катетов — это эксцентрический круг против острого угла при вершине прямого угла. Для такого эксциркса радиус равен r_c = Δ / (s − c), где Δ = (1/2)ab, s = (a + b + c)/2. Отсюда
r_c = [ab/2] / [(a + b − c)/2] = ab / (a + b − c).
По условию r_c = 195, следовательно:
ab / (a + b − c) = 195.
Заменим ab на 60c:
60c / (a + b − c) = 195 → a + b − c = (60c)/195 = (4/13)c.
Отсюда a + b = c + (4/13)c = (17/13)c.
Теперь имеем систему:
- ab = 60c,
- a + b = (17/13)c.
Возьмем квадрат суммы:
(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab = c^2 + 2ab.
Слева: (a + b)^2 = ((17/13)c)^2. Справа: c^2 + 2ab, при ab = 60c имеем 2ab = 120c.
Итак:
((17/13)^2)c^2 = c^2 + 120c
(289/169 − 1)c^2 = 120c
(120/169)c^2 = 120c
c^2 = 169c → c = 169 (не нуль).
Тогда:
a + b = (17/13)c = (17/13)·169 = 221,
ab = 60c = 60·169 = 10140.
Корни уравнения t^2 − (a + b)t + ab = 0:
t^2 − 221t + 10140 = 0.
Дискриминант: D = 221^2 − 4·10140 = 48841 − 40560 = 8281 = 91^2.
Корни: t = (221 ± 91)/2 → t1 = 156, t2 = 65.
Значит, катеты равны 156 и 65, гипотенуза c = 169. Наибольший катет — 156.
