Окружность радиуса 195 касается гипотенузы прямоугольного треугольника и продолжений его катетов, а высота этого треугольника, опущенная на гипотенузу, равна 60. Найдите…

Решение

Обозначим стороны прямоугольного треугольника как:

• катеты: a и b,
• гипотенуза: c = sqrt(a^2 + b^2).

Дано:

• высота, опущенная на гипотенузу: h = 60. В прямоугольном треугольнике h = (ab)/c, значит ab = 60c.
• окружность радиуса R = 195 касается гипотенузы и продолжений катетов — это эксцентрический круг против острого угла при вершине прямого угла. Для такого эксциркса радиус равен r_c = Δ / (s − c), где Δ = (1/2)ab, s = (a + b + c)/2. Отсюда r_c = [ab/2] / [(a + b − c)/2] = ab / (a + b − c).

По условию r_c = 195, следовательно: ab / (a + b − c) = 195.

Заменим ab на 60c: 60c / (a + b − c) = 195 → a + b − c = (60c)/195 = (4/13)c. Отсюда a + b = c + (4/13)c = (17/13)c.

Теперь имеем систему:

• ab = 60c,
• a + b = (17/13)c.

Возьмем квадрат суммы: (a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab = c^2 + 2ab.

Слева: (a + b)^2 = ((17/13)c)^2. Справа: c^2 + 2ab, при ab = 60c имеем 2ab = 120c.

Итак: ((17/13)^2)c^2 = c^2 + 120c (289/169 − 1)c^2 = 120c (120/169)c^2 = 120c c^2 = 169c → c = 169 (не нуль).

Тогда: a + b = (17/13)c = (17/13)·169 = 221, ab = 60c = 60·169 = 10140.

Корни уравнения t^2 − (a + b)t + ab = 0: t^2 − 221t + 10140 = 0.

Дискриминант: D = 221^2 − 4·10140 = 48841 − 40560 = 8281 = 91^2. Корни: t = (221 ± 91)/2 → t1 = 156, t2 = 65.

Значит, катеты равны 156 и 65, гипотенуза c = 169. Наибольший катет — 156.