Окружность радиуса 195 касается гипотенузы прямоугольного треугольника и продолжений его катетов, а высота этого треугольника, опущенная на гипотенузу, равна 60. Найдите…

Задача о прямоугольном треугольнике с окрестностью экс extircle рядом с гипотенузой.

Обозначения:

• Пусть стороны (катеты) треугольника: a и b, гипотенуза: c.
• Высота, опущенная на гипотенузу: h = 60.
• Радиус окружности, касающейся гипотенузы и продолжений катетов (эксцентрическая окружность против вершины прямого угла): R = 195.

1. Связи с высотой и гипотенузой Высота к гипотенузе равна h = ab / c. Значит, ab = h c = 60 c. (1)

2. Эксцентрическая окружность против прямого угла Окружность, касающаяся гипотенузы и продолжений катетов, является эксцентрической окружностью против прямого угла. Её радиус: R = Δ / (s − c), где Δ = площадь треугольника = (ab)/2, s = (a + b + c)/2 — полупериметр.

Тогда R = ab / (a + b − c). Поскольку R = 195, имеем: ab = 195 (a + b − c). (2)

Сочетая (1) и (2): 60 c = 195 (a + b − c) => 60c = 195a + 195b − 195c => 255c = 195(a + b) => a + b = (255/195) c = (17/13) c. (3)

3. Использование тождества для гипотенузы Из (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = c^2 + 2ab. С учетом ab = 60 c из (1): (a + b)^2 = c^2 + 120 c.

Подставим из (3) левая часть: ((17/13) c)^2 = c^2 + 120 c (289/169) c^2 = c^2 + 120 c (120/169) c^2 = 120 c c^2 = 169 c => c = 169 (положительно).

Отсюда: ab = 60 c = 60 · 169 = 10140, a + b = (17/13) c = (17/13) · 169 = 221.

4. Найдём сами катеты Катеты являются корнями уравнения t^2 − (a + b) t + ab = 0: t^2 − 221 t + 10140 = 0.

Дискриминант: D = 221^2 − 4·10140 = 48841 − 40560 = 8281 = 91^2.

Квадратные корни: t = (221 ± 91)/2 ⇒ t1 = (312)/2 = 156, t2 = (130)/2 = 65.

Итак, катеты треугольника: 156 и 65. Наибольший катет равен 156.

Ответ: 156.