sin^2t-1

Задача: sin^2 t - 1

Пошаговое решение и объяснения

1. Простейшее упрощение через тождество sin^2 t + cos^2 t = 1

• Из этого тождества получаем: sin^2 t - 1 = sin^2 t - (sin^2 t + cos^2 t) = -cos^2 t.
• Итог: sin^2 t - 1 = -cos^2 t.

2. Альтернативная форма через косинус двойного угла

• Используем тождество cos 2t = 1 - 2 sin^2 t, значит sin^2 t = (1 - cos 2t)/2.
• Подставляем: sin^2 t - 1 = (1 - cos 2t)/2 - 1 = (1 - cos 2t - 2)/2 = -(1 + cos 2t)/2.
• Итог: sin^2 t - 1 = -(1 + cos 2t)/2.

3. Оценка выражения (диапазон значений)

• Так как 0 ≤ sin^2 t ≤ 1, то sin^2 t - 1 ∈ [-1, 0].
• Значение равняется 0, когда sin^2 t = 1 (t = π/2 + kπ); равняется -1, когда sin^2 t = 0 (t = kπ).

4. Примеры проверки

• Пусть t = 0: sin^2 0 - 1 = 0 - 1 = -1; по формуле -cos^2 0 = -1 и по форме -(1 + cos 0)/2 = -(1+1)/2 = -1.
• Пусть t = π/2: sin^2(π/2) - 1 = 1 - 1 = 0; по формулам -cos^2(π/2) = 0 и -(1 + cos π)/2 = -(1-1)/2 = 0.

Итого

• Основная упрощенная форма: sin^2 t - 1 = -cos^2 t.
• Альтернативная форма через двойной угол: sin^2 t - 1 = -(1 + cos 2t)/2.
• Диапазон значений: [-1, 0].