Задача Задача №3359004
А
А
внутри равнобедренного треугольника ABC с основанием BC взята такая точка M, что угол MBC=30⁰ угол MCB =10⁰ найдите угол AMC если угол BAc=80⁰
Решение (пошагово, для понимания)
Даны:
- ABC — равнобедренный с основанием BC, значит AB = AC.
- ∠BAC = 80°, следовательно ∠ABC = ∠ACB = (180° − 80°)/2 = 50°.
- На рисунке внутри треугольника есть точка M такая, что ∠MBC = 30° и ∠MCB = 10°.
- Найдём углы в треугольниках ABM и ACM, используя данные.
- Угол при B между BM и BA: ∠ABM = ∠ABC − ∠MBC = 50° − 30° = 20°.
- Угол при C между CM и CA: ∠ACM = ∠ACB − ∠MCB = 50° − 10° = 40°.
Пусть θ = ∠BAM. Тогда
- ∠MAC = ∠BAC − ∠BAM = 80° − θ.
- В треугольнике ABM сумма углов: ∠AMB = 180° − ∠ABM − ∠BAM = 180° − 20° − θ = 160° − θ.
- В треугольнике ACM сумма углов: ∠AMC = 180° − ∠ACM − ∠MAC = 180° − 40° − (80° − θ) = 60° + θ.
- Свяжем длины MB и MC двумя способами.
В треугольнике BMC углы: ∠CBM = ∠MBC = 30°, ∠BCM = ∠MCB = 10°, ∠BMC = 140°. По синусной теореме: MB / sin(∠BCM) = MC / sin(∠CBM) = BC / sin(∠BMC). Отсюда MB / MC = sin(10°) / sin(30°) = 2 sin(10°). (1)
В треугольниках ABM и ACM при AB = AC имеем: MB = AB · sin θ / sin(∠AMB) = AB · sin θ / sin(160° − θ). MC = AC · sin(80° − θ) / sin(∠AMC) = AC · sin(80° − θ) / sin(60° + θ). Так как AB = AC, получаем MB / MC = [sin θ · sin(60° + θ)] / [sin(160° − θ) · sin(80° − θ)]. (2)
- Сравним выражения (1) и (2) и найдём θ. Из (1): MB/MC = 2 sin(10°). Из (2): MB/MC = [sin θ · sin(60° + θ)] / [sin(160° − θ) · sin(80° − θ)]. Упростим: sin(160° − θ) = sin(20° + θ). Тогда [sin θ · sin(60° + θ)] / [sin(20° + θ) · sin(80° − θ)] = 2 sin(10°).
Проверим θ = 10°:
- числитель: sin 10° · sin 70°.
- знаменатель: sin 30° · sin 70°. Отсюда дробь = sin 10° / sin 30° = 2 sin 10°, что совпадает с правой частью. Значит, θ = 10°.
- Тогда ∠AMC = 60° + θ = 60° + 10° = 70°.
Ответ: ∠AMC = 70°.
