как должен двигаться автомобиль а течение некоторого промежутка времени чтобы по одометру можно было определить модуль перемещения совершеннного автомобилем за этот промежуток…

Коротко: модуль перемещения равен одометру только тогда, когда автомобиль движется строго по одной прямой в одном направлении без разворотов. Тогда пройденное путь равно прямолинейному перемещению, и OD = модуль перемещения.

Пошагово разбор:

1. Что измеряют

• Одометр (S): суммарное пройденное расстояние вдоль траектории за промежуток времени. S = ∫0^T |v(t)| dt, где v(t) — вектор скорости.
• Модуль перемещения (D): модуль вектора Versch Δr, т.е. D = ∥r(T) − r(0)∥ = ∥∫0^T v(t) dt∥.

2. Когда S = D

• По неравенству треугольника ∥∫ v dt∥ ≤ ∫ ∥v∥ dt, равенство возможно только если вектор скорости v(t) на всем интервале имеет одно и то же направление (не меняет направление) и не «разворачивается».
• Значит, существует фиксированный единичный вектор u и функция α(t) ≥ 0 такая, что v(t) = α(t) u для всех t. Тогда движение происходит вдоль одной прямой и в одном направлении.

3. Что это значит для движения автомобиля

• Автомобиль должен двигаться по одной прямой линии от начала до конца движения, без поворотов и разворотов.
• Скорость может меняться (ускоряться, тормозить, останавливаться), но направление не должно меняться.
• Если автомобиль хотя бы раз повернул, вернулся назад или шёл по кривой, тогда S > D и по одометру нельзя определить модуль перемещения из этого odometра.

4. Примеры

• Разрешено: авто по прямой x-оси движется из точки A в точку B на расстояние L; независимо от ускорений/медленного торможения расстояние, пройденное по одометру, равно L и равно модулю перемещения.
• Запрещено: авто сначала движется прямо, потом поворачивает, идёт по дуге или возвращается обратно. В таких случаях S > D.

5. Короткое резюме

• Чтобы по одометру можно было определить модуль перемещения за промежуток, движение должно быть монотонным вдоль одной прямой: вектор скорости не должен менять направление ни на каком участке пути.

Если хочешь, могу привести небольшую числовую иллюстрацию или записать формулы под конкретный пример (например, задана скорость как функция времени, показать, когда S = D).