. Треугольник АВС равносторонний. AC – основание. Точки К , L , М- середины сторон АВ , ВС и АС соответственно . Докажите, что треугольники АКМ и МLC равны.
Задача: треугольники AKM и MLC равны (конгруэнтны).
Дано: треугольник ABC равносторонний (AB = BC = CA). K — середина AB, L — середина BC, M — середина AC. AC — основание.
Доказательство по шагам:
AK = AB/2 и CL = CB/2, потому что K и L — середины сторон AB и BC соответственно. Так как AB = BC, получаем AK = CL.
AM = MC, потому что M — середина стороны AC.
∠KAM — это угол между AK (совсем на направлении AB) и AM (на направлении AC), то он равен углу BAC. Аналогично ∠LCM — угол между CL (на направлении CB) и CM (на направлении CA), то он равен углу BCA. В равностороннем треугольнике все углы по 60°, значит ∠KAM = ∠LCM = 60°.
По признаку SAS: если две стороны треугольника равны двум сторонам другого треугольника и угол между ними равен, то треугольники конгруэнтны. По пунктам 1–3 имеем:
- AK = CL
- AM = CM
- ∠KAM = ∠LCM Следовательно, треугольники AKM и MLC конгруэнтны.
Из конгруэнтности следует соответствие вершин: A ↔ C, K ↔ L, M ↔ M. Тогда KM = ML и другие соответствующие пары сторон и углов равны.
Итак, треугольники AKM и MLC равны (конгруэнтны).
