Сравните: а) 3,412 и 3,(41)

Ответ: 3,412 < 3,(41)

Пояснение и два способа проверки.

1. Интерпретация записи

• 3,412 — десятичное число три целых и четыре двоих? Нет: это три целых и три десятичные цифры, то есть 3.412.
• 3,(41) — запись с повторяющейся дробной частью: 3.41414141… = 3.\overline{41}.

2. Способ 1: по цифрам после запятой

• 3,412 = 3.412
• 3,(41) = 3.414141…
• После запятой первые две цифры совпадают: 4 и 1. Третья цифра у 3,412 — 2, а у 3,(41) — 4. Так как 2 < 4, получается 3,412 < 3,(41).

3. Способ 2: через дроби (точное сравнение)

• 3,(41) = 3 + 0.\overline{41} = 3 + 41/99 = 338/99 ≈ 3.414141…
• 3,412 = 3.412 = 3412/1000 = 853/250 = 3.412
• Сравнение: 853/250 и 338/99. Перекрестно умножаем: 853·99 = 84447, 338·250 = 84500. Так как 84447 < 84500, то 853/250 < 338/99. Значит 3,412 < 3,(41).

Итак, оба метода дают ответ: 3,412 меньше чем 3,(41).