Две плоскости пересекаются в точке M.Докажите, что все прямые, не проходящие через точку M и пересекающие данные прямые, лежат в одной плоскости.
Задача: Пусть две прямые l1 и l2 пересекаются в точке M. Докажите, что все прямые n, не проходящие через точку M и пересекающие данные прямые (то есть пересекающие l1 и l2), лежат в одной плоскости.
Пояснение и доказательство:
Пусть l1 и l2 пересекаются в M. Это значит, что существует плоскость α, содержащая обе прямые (потому что две пересекающиеся прямые определяют единственную плоскость).
Пусть прямая n не проходит через M и пересекает l1 в точке A и l2 в точке B. Тогда A ∈ l1 ⊂ α и B ∈ l2 ⊂ α, значит A и B лежат в плоскости α.
Прямая n проходит через две точки A и B, поэтому она совпадает с линией AB. Но точка A и точка B лежат в плоскости α, а любая прямая, проходящая через две точки плоскости, целиком лежит в этой плоскости. Следовательно, n ⊂ α.
Таким образом, каждая прямая n, не проходящая через M и пересекающая l1 и l2, лежит в одной и той же плоскости α, которая и была определена как плоскость, содержащая l1 и l2.
Кратко: любые две пересекающиеся прямые определяют плоскость. Любая прямая, пересекающая обе данные прямые, обязательно лежит в этой же плоскости.
