У=(х²-1)(х²+1)

Задача по алгебре: у = (х^2 − 1)(х^2 + 1) Цель: понять, как упростить и разложить выражение. Пошаговое решение 1) Упрощение через разность квадратов - Заметим формулу: (A − B)(A + B) = A^2 − B^2. - Здесь A = x^2, B = 1. - Поэтому: (x^2 − 1)(x^2 + 1) = (x^2)^2 − 1^2 = x^4 − 1. - Результат на этом шаге: у = x^4 − 1. 2) Полная факторизация над целыми коэффициентами - Мы можем разложить x^4 − 1 дальше по разности квадратов: x^4 − 1 = (x^2 − 1)(x^2 + 1). - А затем разложить x^2 − 1: x^2 − 1 = (x − 1)(x + 1). - В итоге: у = (x − 1)(x + 1)(x^2 + 1). 3) Вариант над комплексными числами - x^2 + 1 можно разложить как (x − i)(x + i), где i^2 = −1. - Тогда полностью разложение: у = (x − 1)(x + 1)(x − i)(x + i). 4) Проверка разложения (быстрый контроль) - Раскроем (x − 1)(x + 1) = x^2 − 1. - Тогда (x^2 − 1)(x^2 + 1) = x^4 − 1 — соответствует шагу 1, значит разложения верны. 5) Свойства и корни (для понимания графика) - Реальные корни: x = −1 и x = 1 (потому что при этих x один из множителей равен нулю). - Функция четная: у(-x) = у(x). - Степень 4, ведущий коэффициент 1, константа −1: график как минимум в точке x = 0 имеет значение −1; при больших |x| функция растет как x^4. - Расширенная запись для графика: у = x^4 − 1. Итого - Основное упрощение: у = x^4 − 1. - Полная факторизация над целыми: у = (x − 1)(x + 1)(x^2 + 1). - Полная факторизация над комплексными: у = (x − 1)(x + 1)(x − i)(x + i).