у=(х²-1)(х²+1)

Задача по алгебре: у = (х^2 − 1)(х^2 + 1)

Цель: понять, как упростить и разложить выражение.

Пошаговое решение

1. Упрощение через разность квадратов

• Заметим формулу: (A − B)(A + B) = A^2 − B^2.
• Здесь A = x^2, B = 1.
• Поэтому: (x^2 − 1)(x^2 + 1) = (x^2)^2 − 1^2 = x^4 − 1.
• Результат на этом шаге: у = x^4 − 1.

2. Полная факторизация над целыми коэффициентами

• Мы можем разложить x^4 − 1 дальше по разности квадратов: x^4 − 1 = (x^2 − 1)(x^2 + 1).
• А затем разложить x^2 − 1: x^2 − 1 = (x − 1)(x + 1).
• В итоге: у = (x − 1)(x + 1)(x^2 + 1).

3. Вариант над комплексными числами

• x^2 + 1 можно разложить как (x − i)(x + i), где i^2 = −1.
• Тогда полностью разложение: у = (x − 1)(x + 1)(x − i)(x + i).

4. Проверка разложения (быстрый контроль)

• Раскроем (x − 1)(x + 1) = x^2 − 1.
• Тогда (x^2 − 1)(x^2 + 1) = x^4 − 1 — соответствует шагу 1, значит разложения верны.

5. Свойства и корни (для понимания графика)

• Реальные корни: x = −1 и x = 1 (потому что при этих x один из множителей равен нулю).
• Функция четная: у(-x) = у(x).
• Степень 4, ведущий коэффициент 1, константа −1: график как минимум в точке x = 0 имеет значение −1; при больших |x| функция растет как x^4.
• Расширенная запись для графика: у = x^4 − 1.

Итого

• Основное упрощение: у = x^4 − 1.
• Полная факторизация над целыми: у = (x − 1)(x + 1)(x^2 + 1).
• Полная факторизация над комплексными: у = (x − 1)(x + 1)(x − i)(x + i).